Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind (nicht unbedingt zurecht) nach Carlo Emilio Bonferroni benannte Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Bonferroni war eigentlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, er benutzt sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statstischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen jedoch sicher schon vor ihm bekannt gewesen.

Die erste der folgende Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolsche Ungleichung bezeichnet; oft werden diese Ungleichung aber auch einfach ohne Namensbezug genannt.

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien $E_{i}$ beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$. Dann gilt:

$\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\Pr \left(E_{i}\right)$.

Diese Ungleichung wird auch Boolesche Ungleichung genannt.

Beweis

Zum Beweis genügt eine vollständige Induktion nach $n$. Die Induktionsbasis ergibt sich unmittelbar aus

$\Pr \left(E_{1}\cup E_{2}\right)={\frac {|E_{1}\cup E_{2}|}{|\Omega |}}={\frac {|E_{1}|+|E_{2}|-|E_{1}\cap E_{2}|}{|\Omega |}}$

$\leq {\frac {|E_{1}|+|E_{2}|}{|\Omega |}}={\frac {|E_{1}|}{|\Omega |}}+{\frac {|E_{2}|}{|\Omega |}}=\Pr \left(E_{1}\right)+\Pr \left(E_{2}\right)$.

Sei für den Induktionsschritt $\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n-1}\Pr \left(E_{i}\right)$ vorausgesetzt. Es folgt dann die Behauptung vermöge:

$\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)=\Pr \left(E_{n}\cup \bigcup _{i=1}^{n-1}E_{i}\right)\leq \Pr \left(E_{n}\right)+\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n-1}E_{i}\right)$

$\leq \Pr \left(E_{n}\right)+\sum _{i=1}^{n-1}\Pr \left(E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\Pr \left(E_{i}\right)$.

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder $E_{i}$ beliebige Teilmengen (Ereignisse) in einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$. Ferner bezeichne ${\overline {E_{i}}}=\Omega \setminus E_{i}$ das Komplement von $E_{i}$. Dann folgt:

$\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}E_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{n}P\left({\overline {E_{i}}}\right)$

Beweis

Zunächst beobachte man, dass stets $\bigcap _{i=1}^{n}E_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}{\overline {E_{i}}}$ gilt. Der Beweis ergibt sich dann sofort, indem man in die erste Ungleichung ${\overline {E_{i}}}$ statt $E_{i}$ einsetzt und die komplementäre Wahrscheinlichkeit bildet.

Beispiele

• Sei $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne $E_{1}=\{2,4,6\}$ das Ereigbis, eine gerade Zahl zu würfen und $E_{2}=\{5,6\}$ das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfen. Offensichtlich gilt $\Pr(E_{1})={\frac {1}{2}}$ und $\Pr(E_{2})={\frac {1}{3}}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln

$\Pr \left(E_{1}\cup E_{2}\right)\leq \Pr \left(E_{1}\right)+\Pr \left(E_{2}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}}$

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und wenigstens eine 5 zu würfeln

$\Pr \left(E_{1}\cap E_{2}\right)\geq 1-\Pr \left({\overline {E_{1}}}\right)-\Pr \left({\overline {E_{2}}}\right)=1-(1-{\frac {1}{2}})-(1-{\frac {1}{3}})=-{\frac {1}{6}}$

Literatur

• Ulrich Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 7. Auflage, Vieweg Verlag, 2003.