Wieferich-Primzahl
Eine Wieferich-Primzahl ist eine spezielle Primzahl p mit der Eigenschaft 2p-1 - 1 ist teilbar durch p2.
Alternativ kann man dies auch mit der modulo-Funktion schreiben als 2p-1 = 1 (mod p2).
Bekannte Wieferich-Primzahlen
Man kennt bisher nur 2 Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (gefunden im Jahr 1913 von W.Meissner) und 3511 (gefunden im Jahr 1922 von N.G.W.H.Beeger). Weitere Wieferich-Primzahlen sind nicht bekannt. Mit Computerhilfe hat man bis Juni 2003 alle Zahlen bis 1.25 · 1015 untersucht ( http://www.cs.dal.ca/~knauer/wieferich/ ).
Namensgebung
Benannt sind diese Primzahlen nach dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich.
Verwandtschaft mit Fermats letztem Theorem
Wieferich beschäftigte sich mit Fermats letztem Theorem. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den folgenden Satz:
Voraussetzung:
Sei xp + yp + zp = 0 wobei x,y,z natürliche Zahlen sind und p eine Primzahl ist. Weiterhin sei das Produkt x·y·z nicht teilbar durch p.
Behauptung:
p ist eine Wieferich-Primzahl, d.h. ap-1 - 1 ist teilbar durch p2 mit a = 2.
1910 zeigte der Mathematiker Mirimanoff, dass dieser Satz auch für a = 3 gilt.
Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen
- Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Man vermutet, dass dies nicht der Fall ist.
- Subtrahiert man von den beiden bekannten Wieferich-Primzahlen "1", dann sind die zugehörigen Binärdarstellungen periodisch.
- 1092 = 100010001000...(Basis 2)
- 3510 = 110110110110...(Basis 2)
- Ein Primfaktor p der Mersenne-Zahl Mq = 2q - 1 ist eine Wieferich-Primzahl genau dann, wenn p2 teilbar ist durch 2q - 1. Daraus folgt sofort, dass eine Mersenne-Primzahl niemals eine Wieferich-Primzahl sein kann.
- Für eine Wieferich-Primzahl p gilt: 2p2 = 2 (mod p2).
- Aus 2n = 1 (mod p) folgt 2n = 1 (mod p2)
Literatur
- A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem," Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302
- J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture," Journal Number Theory, 30:2 (1988) 226-237.