Analysis

Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die Analysis befasst sich mit dem Verhalten und den Eigenschaften von unendlichen Folgen und Reihen. Die grundlegenden Begriffe Stetigkeit (Mathematik), Differentiation und Integration beruhen auf dem Grenzwertbegriff für unendliche Folgen. Funktionen reeller Zahlen sind ein weiteres Hauptthema der Analysis, wobei sich wesentliche Funktionen der Analysis als Limites von Folgen oder Summen unendlicher Reihen darstellen lassen.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Die Methoden der Analysis sind in allen Naturwissenschaften von großer Bedeutung.

Differentialrechnung

Die Differentialrechnung berechnet die Ableitung von Funktionen. Die Ableitung wird durch den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert, und gibt anschaulich den Grad der lokalen Veränderung an, die auch als Steigung oder Gradient bezeichnet wird:

${\frac {d}{dx}}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}$

Die Ableitung ist wohldefiniert, wenn eine geeignete Vorschrift für den Grenzwert (Limes) befolgt wird (und die Funktion f überhaupt differenzierbar ist).

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden, und geht im Grenzwert in das Integral über.

$A=\lim _{h\to 0}\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}h=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\ \ mit\ h={\frac {b-a}{n}}\ und\ x_{i}=a+ih$

Die anschauliche Darstellung (die Flächenberechnung mittels Ober- und Untersummen) entspricht der klassischen Schulmathematik. In der so genannten "höheren Analysis" werden Integrale über das Mass der Definitionsmenge berechnet (Lebesgue-Integral).

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander.

${d \over dx}(\int f(x)dx)=\int ({d \over dx}f(x))dx=f(x)$

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung ist allerdings nur quantitativ, und berührt nicht die grundlegenden Konzepte.

weitere Gebiete der Analysis

• Funktionen mit einer reellen Veränderlichen
• Funktionen mit mehreren reellen und komplexen Veränderlichen (komplexe Analysis)
• Gewöhnliche Differentialgleichungen
• Partielle Differentialgleichungen
• Variationsprobleme
• Vektoranalysis