Polynom

In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen x.

In der elementaren Algebra identifiziert man diese formale Summe mit einer Funktion in x (einer Polynomfunktion), in der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen diesen beiden Begriffen. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion auch als ganzrationale Funktion bezeichnet (siehe auch rationale Funktion).

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Polynomfunktion, Grad eines Polynoms, Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms, Polynomglied, Absolutglied, Binom; sowie Nullstellenschranke, Cauchy-Regel, Newton-Regel, gerade und ungerade Potenz.

Graph einer Polynomfunktion 5. Grades

Polynome in der elementaren Algebra

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$,

wobei als Definitionsbereich für die Variable x jeder beliebige Ring in Frage kommt, z.B. ein Körper oder ein Restklassenring. Meist werden aber die reellen oder die komplexen Zahlen genommen; man spricht dann auch kurz von reellen bzw. komplexen Polynomen.

• Die a_i stammen aus dem Definitionsbereich und werden Koeffizienten genannt.
  
• Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent n bezeichnet, für den der Koeffizient $a_{n}$ des Monoms $a_{n}x^{n}$ nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient.

Die übliche Schreibweise $\deg f$ für den Grad des Polynoms $f$ ist vom englischen Begriff degree abgeleitet.

• Für das Nullpolynom, bei dem alle $a_{i}$ Null sind, wird der Grad als $-\infty$ definiert.
• Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert.

Der Koeffizient a₀ heißt Absolutglied. $a_{1}x$ wird als lineares Glied bezeichnet, $a_{2}x^{2}$ als quadratisches Glied und $a_{3}x^{3}$ als kubisches.

Polynome des Grades

• 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. P(x) = -1).
• 1 werden lineare Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x + 5).
• 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 3x² - 4x + 2).
• 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. P(x) = 4x³ - 2x² + 7x - 2).

Eigenschaften

• Polynome sind von besonderer Bedeutung, weil sie eine einfache Funktionenfamilie bilden, die insbesondere leicht zu differenzieren und integrieren sind. Die Ableitung eines Polynoms

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

ist das Polynom

$a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\ldots +na_{n}x^{n-1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$

• Es gibt viele Möglichkeiten, komplexere Funktionen durch Polynome anzunähern (siehe z. B. Taylor-Formel, Polynominterpolation, Approximationssatz von Weierstraß).

• Polynome wachsen als Summe von Potenzen langsamer als jede exponentielle Funktion, unabhängig von den Koeffizienten.

• Reelle Polynome ungeraden Grades haben ganz $\mathbb {R}$ als Wertemenge, d.h. sie sind surjektiv.

(Wenn man die X-Achse als Zeitachse interpretiert ergibt sich anschaulich folgendes Bild für diese Polynome: Entweder kommen sie von $-\infty$, schwanken evtl. ein bisschen (eine oder mehrere Nullstellen) und gehen dann Richtung $+\infty$, oder sie kommen umgekehrt von $+\infty$, schwanken evtl. etwas und gehen dann Richtung $-\infty$.)

• Reelle Polynome geraden Grades haben einen Wertebereich von
  • $\left[y_{min},\,\infty \right[$ bei positivem Leitkoeffizient $a_{n}$
  • $\left]-\infty ,\,y_{max}\right]$ bei negativem $a_{n}$

(Wenn man die X-Achse als Zeitachse interpretiert ergibt sich anschaulich folgendes Bild für diese Polynome: Entweder kommen sie von $-\infty$, schwanken ein bisschen (lokale Maxima, evtl. Nullstellen) und gehen dann wieder Richtung $-\infty$, oder sie kommen von $+\infty$, schwanken ein bisschen (lokale Minima) und gehen dann wieder Richtung $+\infty$.)

• Für den Grad von Polynomen $f,g$ gelten die Gradabschätzungen

$\deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)$

und für reelle Polynome oder allgemein für Polynome über einem Integritätsbereich

$\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.$

Für allgemeinere Ringe gilt auch in der letzten Beziehung lediglich $\leq$.

• Mit dem Horner-Schema kann die Auswertung $f(a)$ eines Polynoms an einer bestimmten Stelle $a$ effizient vorgenommen werden.

Nullstellen des Polynoms

Allgemeine Eigenschaften

Als Nullstellen oder Wurzeln eines Polynoms werden jene Werte von x bezeichnet, für die der Funktionswert $P(x)$ null ist. Sie sind also die Lösungen der Gleichung $P(x)=0$. Ein Polynom über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsbereich) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

• Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein komplexes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen hat; dabei müssen Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden, beispielsweise hat das Polynom $(x-2)^{2}$ eine doppelte Nullstelle bei $x=2$. Polynome lassen sich mit Hilfe des Wurzelsatzes von Vietá in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen.
• Gibt es ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten, so sind dies Teiler des Absolutgliedes.

• Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (z. B. pq-Formel), dagegen lassen sich Polynome höheren Grades nur in Spezialfällen exakt faktorisieren.

• Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.

Nullstellenschranken

Die Lage aller Nullstellen eines Polynoms vom Grad n lässt sich durch Nullstellenschranken, in deren Berechnung nur die Koeffizienten und der Grad des Polynoms eingehen, abschätzen.

Reelle Nullstellenschranken

Ein wichtiger Spezialfall sind reelle Nullstellenschranken für reelle Polynome: Eine Zahl $B\in \mathbb {R} _{+}$ heißt reelle Nullstellenschranke des Polynoms $f\in \mathbb {R} [X]$, wenn alle reellen Nullstellen von f im Intervall $[-B,B]$ liegen; sie heißt obere reelle Nullstellenschranke von f, wenn alle reellen Nullstellen von f kleiner oder gleich B sind. Analog sind untere Nullstellenschranken erklärt. Für viele reelle Nullstellenschranken spielt die Teilindexmenge $N=\{k\in \{0,1,\dots ,n\}\mid a_{k}<0\}$ der echt negativen Koeffizienten von $f$ eine besondere Rolle. Beispiele reeller Nullstellenschranken für normierte Polynome $f=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}$ sind:

• $\max \left\{{\big (}|N|\cdot |a_{i}|{\big )}^{1 \over n-i}\mid i\in N\right\}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Cauchy-Regel),
• $\min\{x\in \mathbb {R} :f^{(i)}(x)\geq 0\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ i=0,\ldots ,n\}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel);
• die beiden Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung bilden ein Paar aus einer unteren und einer oberen reellen Nullstellenschranke:

$n\cdot x^{2}+2\cdot a_{n-1}\cdot x+2\cdot (n-1)\cdot a_{n-2}-(n-2)\cdot a_{n-1}^{2}=0$

• Jedes $B\in \mathbb {R} _{+}$, das die Ungleichung $B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}$ erfüllt, ist eine reelle Nullstellenschranke (das so definierte B ist sogar eine komplexe Nullstellenschranke für komplexe Polynome). Spezialfälle hiervon sind (s. auch Satz von Gerschgorin)
  • $1+\max _{i=0}^{n-1}|a_{i}|$ und
  • $\max \left(1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|\right)$.

• Jedes $B\in \mathbb {R} _{+}$, das die Ungleichung $B^{n}\geq \sum _{i\in N}|a_{i}|B^{i}$ erfüllt, ist eine obere reelle Nullstellenschranke. Spezialfälle hiervon sind
  • $1+\max _{i\in N}|a_{i}|$,
  • $\max \left(1,\sum _{i\in N}|a_{i}|\right)$.

Komplexe Nullstellenschranken

Für komplexe Polynome $f\in {\mathbb {C}}[X]$ sind als Pendant zu den reellen Nullstellenschranken Kreise um den Nullpunkt der komplexen Zahlenebene üblich, deren Radius so groß zu wählen ist, dass alle (bzw. je nach Anwendung auch nur „einige“) komplexen Nullstellen des Polynoms auf der Kreisscheibe liegen. Eine Zahl $B\in \mathbb {R} _{+}$ heißt komplexe Nullstellenschranke des Polynoms $f\in {\mathbb {C}}[X]$, wenn alle Nullstellen von f auf der Kreissscheibe um den Nullpunkt mit Radius $B$ liegen (oder anders formuliert: wenn der Betrag jeder Nullstelle kleiner oder gleich $B$ ist). Ein Ergebnis für komplexe Polynome ist:

• Jedes $B\in \mathbb {R} _{+}$, das die Ungleichung $|a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dots ,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}$ erfüllt, definiert einen Kreis in der komplexen Ebene mit Radius B um den Nullpunkt, der genau k komplexe Nullstellen enthält (Folgerung aus dem Satz von Rouché). Diese Ungleichung ist für k=0,n immer lösbar, aber nicht notwendig für jeden Index k=1,...,n-1.
• Im Fall k=n ergibt sich die schon für reelle Polynome angegebene Schranke für den Betrag aller Nullstellen. Alle dort angegebenen direkten Berechnungen von B gelten weiter.
• Im Fall k=0 ergibt sich ein Kreis, der keine Nullstellen enthält. 1/B ist dann eine Schranke für alle Nullstellen des „reziproken“ Polynoms $x^{n}f(1/x)/a_{0}$.

Lösungsformeln

Prinzipiell gibt es mehrere Möglichkeiten, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen:

• Allgemeine Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren und die Regula Falsi oder auf Polynome spezialisierte Iterationsverfahren, wie das Bairstow-Verfahren oder die Weierstraß-Iteration bzw. Durand-Kerner-Verfahren sind einerseits auf jedes Polynom anwendbar, verlieren allerdings bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen an Genauigkeit und Konvergenzgeschwindigkeit.
• Für quadratische Gleichungen, kubische Gleichungen und biquadratische Gleichungen (damit also für alle Gleichungen bis zum vierten Grad in einer Variablen) gibt es allgemeine Lösungsformeln.

Für Polynome höheren Grades gibt es Lösungsformeln, sofern diese spezielle Formen haben:

• Reziproke Polynome haben die Form

$f(x)=c_{0}\cdot x^{n}+c_{1}\cdot x^{n-1}+...+c_{1}\cdot x+c_{0}$

d.h. für den $i$-ten Koeffizienten gilt $c_{i}=c_{n-i}\,$; anders gesagt: die Koeffizienten sind symmetrisch. Für diese Polynome und solche, die eine leichte Modifikation dieser Symmetriebedingung erfüllen, kann die Nullstellenbestimmung mithilfe der Substitution $z=x+1/x$ (bzw. $z=x-1/x$) auf eine Polynomgleichung reduziert werden, deren Grad halb so groß ist. Für Details siehe reziprokes Polynom.

• Binome haben die Form $f(x)=x^{n}+c\,$

Setzen wir c als reell voraus, so sind die n Lösungen Vielfache der komplexen n-ten Einheitswurzeln:

$x_{k}={\sqrt[{n}]{\vert c\vert }}\cdot \exp \left({2k\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c<0$

$x_{k}={\sqrt[{n}]{c}}\cdot \exp \left({(2k+1)\pi \mathrm {i} \over n}\right),\quad c\geq 0$,

wobei $k=0,\dots ,n-1$ durchläuft.

• Polynome, die nur gerade Potenzen von x enthalten, haben die Form:

$f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+c_{n-4}\cdot x^{n-4}+...+c_{4}\cdot x^{4}+c_{2}\cdot x^{2}+c_{0}$

Die Lösung erfolgt durch die Substitution $z=x^{2}\,$. Hat man eine Lösung für $z_{1}$ gefunden, so ist zu berücksichtigen, dass daraus zwei Lösungen für x abzuleiten sind:

$x_{1}={\sqrt {z_{1}}}$ und $x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}$

• Polynome, die nur ungerade Potenzen von x enthalten, haben die Form:

$f(x)=c_{n}\cdot x^{n}+c_{n-2}\cdot x^{n-2}+...+c_{5}\cdot x^{5}+c_{3}\cdot x^{3}+c_{1}\cdot x$

Hier ist offensichtlich 0 eine Nullstelle des Polynoms. Man dividiert das Polynom durch x aus und behandelt es dann wie ein Polynom (n-1)-ten Grades, welches nur gerade Potenzen von x enthält

Polynome in der linearen Algebra

In der Linearen Algebra ist die Veranschaulichung eines Vektorraums (genauer: von dessen Vektoren) nicht immer durch geometrische Musterdarstellungen offensichtlich. Ein Beispiel dafür stellt die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen aber endlichen Grades dar, welche zusammen mit den bekannten Operationen - Addition und Multiplikation - über dem Körper der reellen Zahlen einen Vektorraum bildet. D.h. ein Polynom kann als Vektor des obigen Vektorraumes aufgefasst werden.

Polynome in der abstrakten Algebra

Definition

In der abstrakten Algebra ist ein Polynom eine formale Summe der Form

$f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0},$

wobei die Koeffizienten a_i aus einem Ring R stammen und X ein formales Symbol ist.

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Polynome werden koeffizientenweise addiert und die Multiplikation ergibt sich mit dem Distributivgesetz aus den Regeln

X · a = a · X für a aus R

X^m · Xⁿ = X^m+n für natürliche Zahlen m,n.

Als Produkt ergibt sich aus der Cauchy-Produktformel :

${\Big (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}{\Big )}\cdot {\Big (}\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k}{\Big )}=\sum _{i=0}^{n+m}{\Big (}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}{\Big )}x^{i}$

Stellt man Polynome durch die Folge ihrer Koeffizienten dar, dann ist das Produkt zweier Polynome die Faltung ihrer Koeffizientenfolgen.

Polynomfunktion

Indem man an Stelle von $X$ ein Element $x$ des Rings $R$ einsetzt, erhält man ein Element $f(x)$ von $R$ als Bild. Diese Zuordnung $x\mapsto f(x)$ ist eine Funktion von $R$ nach $R$, die von $f$ induzierte Funktion, eine Polynomfunktion.

In den Formeln wird dieser Unterschied nicht deutlich; meist schreibt man jedoch Unbestimmte als Großbuchstaben und Ringelemente als Kleinbuchstaben.

Die Unterscheidung ist jedoch wichtig, weil verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise $R$ der Restklassenring $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$, so induzieren die beiden Polynome

$f(X)=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X$

und

$g(X)=0$

beide die Nullfunktion

$f(x)=g(x)=0$ für alle $x\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}$.

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsbereich ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Polynomring

Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in einem Ring R und der Unbestimmten X bezeichnet man als R[X]. Sie ist mit der oben angegebenen Addition und Multiplikation ein Ring, der so genannte Polynomring über R .

Auch die Menge der Polynomfunktionen über dem Ring R bildet einen Ring, der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R[X] in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Für weitere Informationen siehe den Artikel Polynomring.

Verallgemeinerung

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form $a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$ als Polynom:

$P(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$

Maximale Anzahl der Monome kann man mit folgender Formel berechnen:

${n+k \choose k}$ Wobei n-Anzahl der vorkommenden Variablen und k - maximale Grad des Polynoms ist.

Auch die Polynome in den n Unbestimmten X₁ bis X_n über dem Ring R bilden einen Polynomring, geschrieben als $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Die Größe $i_{1}+\ldots +i_{n}$ heißt der Totalgrad eines Monoms $X_{1}^{i_{1}}\cdots X_{n}^{i_{n}}$. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen.

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch.

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

$f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$

über, erhält man formale Potenzreihen.

Lässt man auch negative Exponenten zu:

$f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}$

dann erhält man formale Laurentreihen.

Siehe auch

• Polynominterpolation
• Polynomdivision
• Cardanische Formeln
• Horner-Schema