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Die unitäre Matrix ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra . Man bezeichnet damit eine (komplexe ) quadratische Matrix , deren Spalten zueinander orthonormal sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix
U
{\displaystyle U}
U
H
U
=
I
{\displaystyle U^{H}U=I}
erfüllt, wobei
I
{\displaystyle I}
Einheitsmatrix und
U
H
=
U
¯
T
{\displaystyle U^{H}={\overline {U}}^{T}}
Adjungierte von
U
{\displaystyle U}
Inverse einer unitären Matrix
U
−
1
=
U
H
{\displaystyle U^{-1}=U^{H}}
Unitäre Matrizen sind das komplexe Analogon zu orthogonalen Matrizen . Bei diesen handelt es sich um unitäre Matrizen, die nur reelle Koeffizienten haben. Während orthogonale Matrizen im allgemeinen nicht diagonalisierbar sind, gilt dies für unitäre allgemein. Die Menge aller unitären Matrizen der Ordnung
n
{\displaystyle n}
unitäre Gruppe
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {U} (n)}
spezielle unitäre Gruppe
S
U
(
n
)
{\displaystyle \mathrm {SU} (n)}
Unitäre Matrizen sind die Darstellungsmatrizen unitärer Abbildungen . Diese sind längen- und winkeltreu und lassen damit insbesondere das Skalarprodukt invariant:
⟨
U
x
,
U
y
⟩
=
⟨
x
,
y
⟩
{\displaystyle \langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} \rangle =\langle x,y\rangle }
denn es gilt
|
|
x
|
|
2
2
=
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
x
,
I
x
⟩
=
⟨
x
,
U
H
U
x
⟩
=
⟨
U
x
,
U
x
⟩
=
|
|
U
x
|
|
2
2
{\displaystyle ||x||_{2}^{2}=\langle x,x\rangle =\langle x,Ix\rangle =\langle x,U^{H}Ux\rangle =\langle Ux,Ux\rangle =||Ux||_{2}^{2}}
Daraus folgt, dass alle Eigenwerte unitärer Matrizen den Betrag 1 haben: Sei
λ
{\displaystyle \lambda }
x
≠
0
{\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }
Eigenvektor , also
U
x
=
λ
x
{\displaystyle U\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }
⟨
x
,
x
⟩
=
⟨
U
x
,
U
x
⟩
=
⟨
λ
x
,
λ
x
⟩
=
λ
λ
¯
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =\langle U\mathbf {x} ,U\mathbf {x} \rangle =\langle \lambda \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} \rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }
Division durch
⟨
x
,
x
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }
|
λ
|
=
1
{\displaystyle |\lambda |=1}
Die Determinante einer unitären Matrix hat ebenfalls den Betrag 1, denn
1
=
det
(
I
)
=
det
(
U
U
∗
)
=
det
(
U
)
⋅
det
(
U
∗
)
=
det
(
U
)
⋅
det
(
U
¯
T
)
=
det
(
U
)
⋅
det
(
U
¯
)
=
det
(
U
)
⋅
det
(
U
)
¯
{\displaystyle 1=\det(I)=\det(UU^{*})=\det(U)\cdot \det(U^{*})=\det(U)\cdot \det({\overline {U}}^{T})=\det(U)\cdot \det({\overline {U}})=\det(U)\cdot {\overline {\det(U)}}}
Das Produkt zweier unitärer Matrizen ist wieder unitär:
(
U
V
)
−
1
=
V
−
1
U
−
1
=
V
¯
T
U
¯
T
=
(
U
V
¯
)
T
{\displaystyle \left(UV\right)^{-1}=V^{-1}U^{-1}={\overline {V}}^{\rm {T}}{\overline {U}}^{\rm {T}}=\left({\overline {UV}}\right)^{\rm {T}}}
Ist
U
{\displaystyle U}
A
{\displaystyle A}
idempotente Matrix , also
A
A
=
A
{\displaystyle AA=A}
B
=
U
A
U
H
{\displaystyle B=UAU^{H}}
B
B
=
U
A
U
H
U
A
U
H
=
U
A
A
U
H
=
U
A
U
H
=
B
{\displaystyle BB=UAU^{H}UAU^{H}=UAAU^{H}=UAU^{H}=B}
