Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix (nach Otto Hesse) fasst die zweiten Ableitungen eines Skalarfeldes φ(x₁ .. x_n) zusammen:

$\operatorname {H} (\varphi )=\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{n}\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}$

Mit Hilfe der Hesse-Matrix H lassen sich kritische Punkte beliebiger Abbildungen im Rn bestimmen. Dazu bestimmt man für zuvor ermittelte Punkte die Eigenwerte der Hesse-Matrix H. Sind für einen Punkt x alle Eigenwerte der Hesse-Matrix von f grösser als 0, d.h. ist H positiv definit, so ist der Punkt ein lokales Minimum der Funktion. Sind alle Eigenwerte kleiner als 0, d.h. ist H negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum. Der Fall das sowohl Werte grösser als 0, als auch kleiner als 0 vorkommen, tritt auf wenn es sich um einen Sattelpunkt der Funktion handelt. In diesem Fall ist die Matrix H indefinit.

Der Fall, dass alle Eigenwerte 0 sind, ist nicht definiert. Dies ist der entartete Fall, der durch separarate Überprüfung vor Ermittlung der Eigenwerte ausgeschlossen werden muss!