Differentialform

Der Begriff Differentialform präzisiert und verallgemeinert das aus der Analysis bekannte Leibnizsche Differential und den aus der Vektoranalysis bekannten Gradienten. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie.

Kontext

Es sei $U$

• eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$
• oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des $\mathbb {R} ^{n}$
• oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

• den Begriff der differenzierbaren Funktion auf $U$; der Raum der differenzierbaren Funktionen auf $U$ werde mit $C^{\infty }(U)$ bezeichnet;
• den Begriff des Tangentialraums $\mathrm {T} _{p}U$ an $U$ in einem Punkt $p\in U$;
• den Begriff der Richtungsableitung $Xf$ für einen Tangentialvektor $X\in \mathrm {T} _{p}U$ und eine differenzierbare Funktion $f$;
• den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf $U$; der Raum der Vektorfelder auf $U$ sei mit $\Gamma \mathrm {T} U$ bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums $\mathrm {T} _{p}U$ wird als Kotangentialraum $\mathrm {T} _{p}^{*}U$ bezeichnet.

Definition

Eine k-Form oder Differentialform vom Grad k ist eine alternierende $C^{\infty }(U)$-multilineare Abbildung $\omega \colon (\Gamma \mathrm {T} U)^{k}\to C^{\infty }(U)$.

Das bedeutet: $\omega$ ordnet $k$ Vektorfeldern $X_{1},\ldots ,X_{k}$ eine Funktion $\omega (X_{1},\ldots ,X_{k})$ zu, so dass

• $\omega (X_{1},\ldots ,X'_{i}+X''_{i},\ldots ,X_{k})=\omega (X_{1},\ldots ,X'_{i},\ldots ,X_{k})+\omega (X_{1},\ldots ,X''_{i},\ldots ,X_{k})$
• $\omega (X_{1},\ldots ,f\cdot X_{i},\ldots ,X_{k})=f\cdot \omega (X_{1},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})$ für $f\in C^{\infty }(U),1\leq i\leq k$

und

• $\omega (X_{1},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{j},\ldots ,X_{k})=-\omega (X_{1},\ldots ,X_{j},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})$,

d.h. vertauscht man zwei der Argumente von $\omega$, so erhält man das Negative des ursprünglichen Wertes.

Alternativ dazu ordnet $\omega$ jedem Punkt $p\in U$ eine alternierende $\mathbb {R}$-multilineare Abbildung

$\omega _{p}\colon (\mathrm {T} _{p}U)^{k}\to \mathbb {R}$

zu, so dass für $k$ Vektorfelder $X_{1},\ldots ,X_{k}$ die Funktion

$p\mapsto \omega _{p}((X_{1})_{p},\ldots ,(X_{k})_{p})\in \mathbb {R}$

differenzierbar ist.

0-Formen sind differenzierbare Funktionen, und 1-Formen sind pfaffsche Formen.

Die Menge der $k$-Formen auf $U$ wird mit $\Omega ^{k}(U)$ bezeichnet. Ist $k>\dim U$, so ist $\Omega ^{k}(U)=\{0\}$.

Man kann $\omega _{p}$ als Element der äußeren Potenz ${\bigwedge \!}^{k}\,\mathrm {T} _{p}^{*}U$ auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d.h. das Produkt $\wedge$ in der äußeren Algebra) Abbildungen

$\Omega ^{k}(U)\times \Omega ^{\ell }(U)\to \Omega ^{k+\ell }(U),\quad (\omega ,\eta )\mapsto \omega \wedge \eta ,$

wobei $\omega \wedge \eta$ punktweise definiert ist:

$(\omega \wedge \eta )_{p}=\omega _{p}\wedge \eta _{p}.$

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, d.h.

$\omega \wedge \eta =(-1)^{\deg \omega \cdot \deg \eta }\cdot \eta \wedge \omega ;$

dabei bezeichnet $\deg \omega$ den Grad von $\omega$, d.h. ist $\omega$ eine $k$-Form, so ist $\deg \omega =k$.

Äußere Ableitung

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung $\mathrm {d} \omega$ einer $k$-Form $\omega$ wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel

${\mathcal {L}}_{X}=i_{X}\circ \mathrm {d} +\mathrm {d} \circ i_{X}$

definiert; dabei ist $X$ ein Vektorfeld, ${\mathcal {L}}_{X}$ die Lie-Ableitung und $i_{X}$ die Einsetzung von $X$.

Ist beispielsweise $\omega$ eine 1-Form, so ist

$({\mathcal {L}}_{X}\omega )(Y)={\mathcal {L}}_{X}(\omega (Y))-\omega ({\mathcal {L}}_{X}(Y))=X\omega (Y)-\omega ([X,Y])$

und

$((\mathrm {d} \circ i_{X})\omega )(Y)=(\mathrm {d} (\omega (X)))(Y)=Y\omega (X),$

also

$\mathrm {d} \omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])$

für Vektorfelder $X,Y$; dabei bezeichnet $[X,Y]$ die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet

$\mathrm {d} \omega (X_{1},\ldots ,X_{k+1})=\sum _{i=1}^{k+1}(-1)^{i+1}X_{i}\omega (X_{1},...,{\hat {X}}_{i},...,X_{k})+{}$

${}+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{1},...,{\hat {X}}_{i},...,{\hat {X}}_{j},...,X_{k});$

dabei bedeutet ${\hat {X}}_{i}$, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:

• $\mathrm {d}$ ist $\mathbb {R}$-linear.
• $\mathrm {d} (\omega \wedge \eta )=\mathrm {d} \omega \wedge \eta +(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \mathrm {d} \eta ;$ dabei bezeichnet $\deg \omega$ den Grad von $\omega$, d.h. ist $\omega$ eine $k$-Form, so ist $\deg \omega =k$.
• $\mathrm {d} \mathrm {d} \omega =0$
• Für eine Funktion $f$, aufgefasst als 0-Form, stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.

Koordinatendarstellung

Ist $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ein Koordinatensystem auf $U$, so folgt aus den Eigenschaften der äußeren Algebra, dass eine lokale Basis der $k$-Formen durch

$\{\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\mid i_{1}<\ldots <i_{k}\}$

gegeben ist, d.h. jede $k$-Form $\omega$ hat eine eindeutige Darstellung der Form

$\omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\cdot \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}$

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen $a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}$. An dieser Darstellung ist auch abzulesen, dass für $k>n$ die Nullform $\omega =0$ die einzige $k$-Form ist.

Die äußere Ableitung ist in dieser Darstellung durch die Formel

$\mathrm {d} \omega =\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathrm {d} a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}$

gegeben.

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Relationen

$\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{j}=-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mathrm {d} x_{i}$

und

$\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i}=0$

wichtig; beispielsweise ist für $n=2$

$\mathrm {d} (f_{1}\cdot \mathrm {d} x_{1}+f_{2}\cdot \mathrm {d} x_{2})$

${}=\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} x_{1}+\mathrm {d} f_{2}\wedge \mathrm {d} x_{2}$

${}={\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}\cdot \mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}\cdot \mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{2}$

${}=\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}\right)\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}.$

Für n=3 bilden die Koeffizienten der Differentialform bei analogem Vorgehen der rot (Rotations-) Vektor der Vektoranalysis.

Exakte und geschlossene Formen; de-Rham-Kohomologie

Eine $k$-Form $\omega$ heißt geschlossen, wenn $\mathrm {d} \omega =0$ gilt; sie heißt exakt, wenn es eine $(k-1)$-Form $\eta$ gibt, so dass $\omega =\mathrm {d} \eta$ gilt. Aufgrund der Formel $\mathrm {d} \mathrm {d} \eta =0$ ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist $\{V_{\alpha }\}$ eine offene Überdeckung von $U$, so ist eine $k$-Form $\omega$ genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von $\omega$ auf $V_{\alpha }$ für jedes $\alpha$ geschlossen ist.

Der Faktorraum

{geschlossene $k$-Formen auf $U$}/{exakte $k$-Formen auf $U$}

heißt $k$-te de-Rham-Kohomologiegruppe $\mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{k}(U)$ (nach Georges de Rham). Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von $U$.

Das Poincaré-Lemma (nach Henri Poincaré) besagt, dass

$\mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbb {R} ^{n})=0$ für $k>0$

gilt, oder allgemeiner für zusammenziehbare offene Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$. (Man beachte, dass $\mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{0}(U)$ aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also $\mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{0}(U)\not =0$ für jedes $U\not =\varnothing$.)

Ist $\omega$ geschlossen und $\eta =\mathrm {d} \eta '$ exakt, so folgt

$\omega \wedge \eta =\omega \wedge \mathrm {d} \eta '=(-1)^{\det \omega }\mathrm {d} (\omega \wedge \eta '),$

entsprechend falls $\omega$ exakt und $\eta$ geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen

$\mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{k}(U)\times H_{\mathrm {dR} }^{m}(U)\longrightarrow \mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{k+m}(U).$

Siehe auch de-Rham-Kohomologie, Kokettenkomplex

Orientierung

Ist $n=\dim U$, so heißt eine $n$-Form auf $U$, die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf $U$. $U$ zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung $\omega$ definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: eine Basis $\eta _{1},\ldots ,\eta _{n}$ des Kotangentialraums in einem Punkt $p$ sei positiv orientiert, wenn

$\omega _{p}=a\cdot \eta _{1}\wedge \ldots \wedge \eta _{n}$

mit einer positiven Zahl $a$ gilt; eine Basis $X_{1},\ldots ,X_{n}$ des Tangentialraums in einem Punkt $p$ sei positiv orientiert, wenn

$\omega (X_{1},\ldots ,X_{n})>0$

gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist $U$ zusammenhängend, so gibt es entweder bis auf Äquivalenz genau zwei oder gar keine Orientierungen.

$U$ heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von $U$ existiert.

Siehe auch Orientierung (Mathematik)

Integral von Differentialformen

Es sei wieder $n=\dim U$, und wir nehmen an, auf $U$ sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral

$\int _{U}\omega$

für $n$-Formen $\omega$. Ist $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge, $x_{1},\ldots ,x_{n}$ eine positiv orientierte Basis und

$\omega =f\cdot \mathrm {d} x_{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{n},$

so ist

$\int _{U}\omega =\int _{U}f;$

das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral.

Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition unabhängig von Koordinatenwechseln ist.

Siehe auch Integral von Differentialformen

Satz von Stokes

Ist $M$ eine kompakte orientierte $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$, und versieht man $\partial M$ mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede $(n-1)$-Form $\omega$

$\int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega .$

Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Ist $M$ geschlossen, d.h. hat $M$ keinen Rand, so folgt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („/media/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination“): {\displaystyle \int _{M}\omega =0}

für jede exakte $n$-Form $\omega$. Damit definiert das Integral eine Abbildung

$\mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{n}(M)\to \mathbb {R} .$

Ist $M$ zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus.

Siehe auch Satz von Stokes

Zurückziehen ("pull-back") von Differentialformen

Ist $f\colon M\to N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für $\omega \in \Omega ^{k}(N)$ die mittels $f$ zurückgeholte Form $f^{*}\omega \in \Omega ^{k}(M)$ wie folgt definiert:

$f^{*}\omega (X_{1},\ldots ,X_{k}):=\omega (f_{*}(X_{1}),\ldots ,f_{*}(X_{k}))$

dabei sei $f_{*}\colon TM\to TN$ die Ableitung von $f$. Mit den anderen Operationen ist das Zurückziehen verträglich, es gilt

$f^{*}(\mathrm {d} \omega )=\mathrm {d} (f^{*}\omega )$

und

$f^{*}(\omega \wedge \eta )=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta$

für alle $\omega ,\eta \in \Omega ^{*}(N)$.

Insbesondere induziert $f$ eine Abbildung

$f^{*}\colon \mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{k}(N)\longrightarrow \mathrm {H} _{\mathrm {dR} }^{k}(M).$

Duale Form und Stern-Operator

Betrachtet werden äußere Formen in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, so dass eine orthonormale Basis $e_{i}$ des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad k in diesem n-dimensionalen Raum duale Form ist eine (n-k)-Form

$*(e_{1}\wedge e_{2}\wedge ...\wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge ...\wedge e_{n}.$

Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge) *-Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:

$*\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$

$*\mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x$

$*\mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y$

mit den 1-Formen dx, dy dz. Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier (y,z), (x,y) und (z, x) ist (zyklische Verschiebungen in (x,y,z)).

Das *-Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum M gegeben ist, denn $\alpha \wedge *\beta$ lässt sich für zwei k-Formen $\alpha$ und $\beta$ als Volumenform schreiben und das Integral

$(\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge *\beta$

liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine k-Form wieder die k-Form ergibt, bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine k-Form in einem n-dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur s hat (s=+ 1 im euklidischen Raum, s= - 1 im Minkowski-Raum):

$**\alpha =(-1)^{k(n-k)}s\;\alpha$

Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form $\alpha$ die 2-Form $d\wedge \alpha$ ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diesen rot-Vektor kann man mit Hilfe des *-Operators nun auch formal direkt als 1-Form schreiben: $*d\wedge \alpha$. Analog wird der *-Operator zur „Übersetzung“ des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.

Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit M (mit Metrik $g\alpha \beta$ und Determinante der Metrik g, wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes gilt) lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:

$\mathrm {d} {\mathbf {F}}=2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} \,x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} \,x^{\beta }\wedge \mathrm {d} \,x^{\gamma }=0$

(die so genannte Bianchi-Identität) und

$\mathrm {d} *{\mathbf {F}}={F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }\mathrm {d} \,x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} \,x^{\delta }\wedge \mathrm {d} \,x^{\eta }={\mathbf {J}}$

mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form

${\mathbf {F}}=F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} \,x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} \,x^{\beta }$

und dem Strom (geschrieben als 3-Form)

${\mathbf {J}}=J^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} \,x^{\beta }\wedge \mathrm {d} \,x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} \,x^{\delta }$

Hierbei ist $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }$ das Antisymmetrisierungs-Symbol (Levi-Civita-Symbol) und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indices summiert (Einstein-Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit c=1). Durch Anwendung des *-Operators kann man die zweite Maxwellgleichung auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass F und *F in der Elektrodynamik unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen haben duale Symmetrie.

Siehe auch

• Differentielle und integrierte Notation physikalischer Feldgleichungen
• Keilprodukt und Graßmann-Algebra
• Tensor

Literatur

• Shigeyuki Morita Geometry of differential forms, American Mathematical Society 2001, ISBN 0821810456 (viel Anschauung in diesem Buch)
• Harley Flanders Differential forms with applications to the physical sciences, Academic Press 1963