Verband (Mathematik)

In der Mathematik ist ein Verband eine bestimmte algebraische Struktur bzw. eine halbgeordnete Menge mit bestimmten Eigenschaften.

Definition

Ein (algebraischer) Verband (V, $\cap$, $\cup$) ist eine nichtleere Menge V mit zwei inneren binären Verknüpfungen $\cap$ (Durchschnitt) und $\cup$ (Vereinigung), die folgenden Bedingungen für alle u, v, w aus V genügen:

a)	u $\cap$ v = v $\cap$ u	,	u $\cup$ v = v $\cup$ u		(Kommutativität)
b)	u $\cap$ ( v $\cap$ w ) = ( u $\cap$ v ) $\cap$ w	,	u $\cup$ ( v $\cup$ w ) = ( u $\cup$ v ) $\cup$ w		(Assoziativität)
c)	u $\cap$ ( u $\cup$ v ) = u	,	u $\cup$ ( u $\cap$ v ) = u		(Absorptionsgesetze)
d)	u $\cap$ u = u	,	u $\cup$ u = u		(Idempotenzgesetze)

V ist also bezüglich jeder einzelnen Verknüpfung eine kommutative Halbgruppe, in der jedes Element idempotent ist. Die Verknüpfungen treten beim Absorptionsgesetz in Wechselwirkung.

Man kann auf V eine partielle Ordnung definieren durch

v ≤ w genau dann, wenn v $\cap$ w = v.

Man kann zeigen, dass dann auch v ≤ w genau dann, wenn v $\cup$ w = w.

Bezüglich dieser Halbordnung haben je zwei Elemente v, w ein Supremum s = v $\cup$ w und ein Infimum i = v $\cap$ w. Dabei ist ein Element s ein Supremum von {v, w}, wenn gilt

• v ≤ s und w ≤ s
• aus v ≤ t und w ≤ t folgt s ≤ t.

Analoges gilt für das Infimum i.

Umgekehrt kann man für eine halbgeordnete Menge, bei der je zwei Elemente Infimum und Supremum haben, zwei Verknüpfungen definieren, die die oben angegebenen Eigenschaften haben.

Aufgrund der Ordnungsstruktur kann man endliche Verbände durch Diagramme darstellen, z.B. die Potenzmenge von {1, 2}, V = { {}, {1}, {2}, {1,2} } mit dem mengentheoretischen Durchschnitt und Vereinigung:

      {1, 2}
     /      \
   {1}      {2}
      \    /
        {}

Kommt bald ein Bild.

Von diesen Diagrammen leitet sich der englische Name lattice (Gitter) ab.

Spezielle Verbände sind

• vollständiger Verband (hat ein kleinstes und ein größtes Element)
• distributiver Verband (Durchschnitt und Vereinigung sind jeweils distributiv über der anderen Verknüpfung)
• boolescher Verband (vollständiger distributiver Verband mit Komplementen)