Pareto-Verteilung

Die Pareto-Verteilung, benannt nach dem italienischen Ingenieur, Soziologen und Ökonomen Vilfredo Pareto (1848–1923), ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Ebenfalls nach Vilfredo Pareto benannt, aber thematisch nicht mit der Pareto-Verteilung verwandt, ist das Pareto-Optimum.

Pareto-Prinzip

Die Pareto-Verteilung beschreibt das statistische Phänomen, wenn eine kleine Anzahl von hohen Werten einer Wertemenge mehr zu deren Gesamtwert beiträgt, als die hohe Anzahl der kleinen Werte dieser Menge.

Pareto untersuchte die Verteilung des Volksvermögens in Italien und fand heraus, dass ca. 20 % der Familien ca. 80 % des Vermögens besitzen. Banken sollten sich also vornehmlich um diese 20 % der Menschen kümmern und ein Großteil ihrer Auftragslage wäre gesichert.

Daraus leitet sich das Pareto-Prinzip ab, auch „80-zu-20-Regel“, „80-20-Verteilung“ oder „Pareto-Effekt“ genannt. Es besagt, dass sich viele Aufgaben mit einem Mitteleinsatz von ca. 20 % zu 80 % erledigen lassen.

Beispielsweise bedient ein Versandhandel ca. 80 % der Kunden mit einem Arbeitsaufwand von ca. 20 %. Die weitaus meiste Arbeit verursachen die wenigen Kunden, die sich beschweren und Lieferungen beanstanden.

Definition

Pareto-Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) mit (x_min=1).

Kumulative Verteilungsfunktion F(x)

Eine stetige Zufallsvariable $X$ heißt Pareto-verteilt $\operatorname {Par} (k,x_{\min })$ mit den Parametern $k>0$ und $x_{\min }>0$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {k}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k+1}&x\geq x_{\min }\\0&x<x_{\min }\end{cases}}$

besitzt.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt, errechnet sich damit mit der Verteilungsfunktion:

$F(x)=1-\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k}$

Dabei ist $k$ ein sogenannter Fitparameter, d.h. er wird an vorliegende Werte (z.B. Stichproben) angepasst. Der Parameter $k$ beschreibt das Größenverhältnis der Zufallswerte in Abhängigkeit von ihrer Häufigkeit.

Damit errechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ Werte größer $x$ annimmt durch:

${\rm {P}}(X>x)=\left({\frac {x_{\min }}{x}}\right)^{k},~~\forall x>x_{\min }$

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

$\operatorname {E} (X)={\begin{cases}\displaystyle x_{\min }{\frac {k}{k-1}}&k>1\\\infty &k\leq 1\end{cases}}$.

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

$\operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\displaystyle x_{\min }^{2}\left({\frac {k}{k-2}}-{\frac {k^{2}}{(k-1)^{2}}}\right)=x_{\min }^{2}{\frac {k}{(k-2)(k-1)^{2}}}&k>2\\\infty &k\leq 2\end{cases}}$.

Weitere Momente ergeben sich entsprechend.

Standardabweichung

Aus der Varianz ergibt sich für $k>2$ die Standardabweichung

$\sigma (X)={\frac {x_{\min }}{k-1}}{\sqrt {\frac {k}{k-2}}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Standardabweichung erhält man für $k>2$ sofort den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {k(k-2)}}}$.

Schiefe

Für die Schiefe erhält man für $k>3$

$\operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {k}{k-3}}-3{\frac {k^{2}}{(k-2)(k-1)}}+2{\frac {k^{3}}{(k-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {k}{k-2}}-{\frac {k^{2}}{(k-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Zipfsches Gesetz

Das Zipfsche Gesetz ist mathematisch mit der Pareto-Verteilung identisch (x- und y-Achse sind vertauscht). Während die Pareto-Verteilung die Wahrscheinlichkeit bestimmter Zufallswerte betrachtet, fokussiert das Zipfsche Gesetz die Wahrscheinlichkeit, mit der Zufallswerte eine bestimmte Position in der Rangfolge der Häufigkeit einnehmen.

Beziehung zur anderen Verteilungen

Beziehung zur Exponentialverteilung

Wenn $X$ eine Pareto-verteilte Zufallsvariable $\operatorname {Par} (k,1)$ mit den Parametern $k$ und $1$ ist, dann ist $\log {X}$ exponentialverteilt $\operatorname {Exp} (k)$ mit dem Parameter $k$.

Beziehung zur verschobenen Pareto-Verteilung

Wenn $X$ eine Pareto-verteilte Zufallsvariable ist, dann genügt $Y={\frac {1}{x_{\min }}}({\frac {X}{x_{\min }}}-1)$ einer verschobenen Pareto-Verteilung.

Beispiele

Verteilung der Größe deutscher Großstädte

Logarithmische Darstellung der Verteilung

Verteilungsdichte

In Bezug auf die Größenverteilung von Städten zeigt die Grafik rechts die Anzahl deutscher Großstädte, die größer sind als die vom Parameter x vorgegebene Bevölkerungszahl. Die doppeltlogarithmische Auftragung lässt erkennen, dass die Verteilung einem Potenzgesetz folgt.

Der Exponent k der kumulativen Darstellung beträgt 1,31. Folglich lautet der Exponent der Dichtefunktion a= k+1 = 2,31, in guter Übereinstimmung mit der Literatur. Das Summieren der Werte bei der kumulativen Darstellung reduziert die Streuung der Messwerte. Um die Dichtefunktion zeichnen zu können, werden die Werte in Intervalle unterteilt und gezählt. Je nach Intervallgröße schwanken die Mittelwerte der Intervalle, oder die Kurve wegen der geringen Anzahl der Intervalle.

Das Pareto-Prinzip kann bei vielen - auch alltäglichen - Fragestellungen beobachtet werden. 20 % der eingesetzten Zeit bringt 80 % der Ergebnisse (siehe auch: Zeitmanagement). In einem durchschnittlichen Haushalt verursachen 20 % der Kostenpositionen 80 % der Kosten. In einer Wohnung weisen 20 % des Teppichs 80 % der Gesamtabnutzung auf. In einem Unternehmen werden 80 % des Umsatzes mit 20 % der Kunden erzielt. 80 % eines Textes werden mit 20 % der Wörter bestritten (z.B. der, die, das usw.).

Viele Verteilungen in der Natur folgen einem Skalengesetz, sehr oft einem Potenzgesetz, also einer Pareto-Verteilung.

• Wohlstandsverteilung auf Individuen: siehe oben
• Größe von menschlichen Siedlungen: Viele kleine Dörfer mit wenig Einwohnern, die Masse der Menschen wohnt aber in wenigen großen Städten.
• Werte im Lager eines Industrieunternehmens: Viele Schrauben etc., die nicht viel kosten, aber wenige sehr teure Zukaufsartikel.
• Aufwände bei Vorhaben: 20 % Aufwand bringen 80 % Ergebnis, die restlichen 20 % des Ergebnisses brauchen aber 80 % des gesamten Aufwandes.
• 75 % des Welthandels finden unter 25 % der Menschen statt.
• Ankunftszeiten und Paketgrößen in Netzwerken, insbesondere WWW, da hier Nutzerbedenkzeiten zu beachten sind.
• In der Informetrie: Lotkas Gesetz
• Die Pareto-Verteilung wird in der Versicherungs- und Finanzmathematik zur Modellierung von extremen Ereignissen (z.B. Großschäden, starke Kursveränderungen von Aktien) eingesetzt.

Literatur

• Koch, Richard: Das 80/20-Prinzip. Mehr Erfolg mit weniger Aufwand. Frankfurt/M.; New York, 1998. OT: The 80/20 principle. The secret of achieving more with less, 1997.

Weblinks

• Universität Konstanz - Interaktive Animation
• Einfaches Excel Werkzeug für eine Pareto Auswertung

Siehe auch

• ABC-Analyse
• Gini-Koeffizient
• Skalengesetz
• Matthäuseffekt
• Potenzgesetz