Positive Operator Valued Probability Measure

Begründung:In seiner kompletten und wirklich außergewöhnlich ausgeprägten Unverständlichkeit schafft es der Beitrag das Thema seiner Ausführungen komplett zu verschleiern. Nicht mal das Fachgebiet ist imho feststellbar (Mathe? Physik? Aberglauben?). --Weissbier 12:37, 2. Mai 2007 (CEST)

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POVM ist die Abkürzung für "positive operator valued probability measure", ein Begriff aus der mathematischen Beschreibung quantenmechanischer Messprozesse in der Physik.

POVM steht also für ein positiv-operatorwertiges Wahrscheinlichkeitsmaß. Ein POVM auf einem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ ist eine Abbildung $\mu :{\mathcal {A}}\to B({\mathcal {H}})$ mit Werten in der Menge der positiv beschränkten selbstadjungierten Operatoren eines Hilbertraumes ${\mathcal {H}}$, die folgenden Bedingungen genügt:

• Für alle $A\in {\mathcal {A}}$ gilt $0\leq \mu (A)\leq \operatorname {id} _{\mathcal {H}}$,
• $\mu (\Omega )=\operatorname {id} _{\mathcal {H}}$,
• für jede Folge von paarweise disjunkten Mengen $(A_{n}\in {\mathcal {A}})_{n\in \mathbb {N} }$ gilt

$\mu (\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{n}),$

wobei die unendliche Reihe konvergent im Sinne der starken Operatortopologie ist.

Diese Definition steht in Analogie zu den Kolmogorov-Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Ein wichtiges Beispiel ist das Spektralmaß eines selbstadjungierten Operators.

In der modernen Formulierung der Quantenmechanik treten POVMs zur Beschreibung von allgemeineren Observablen auf, als sie in der älteren von Neumannschen Theorie vorkommen. Einem quantenmechanischen System, dessen Zustand durch einen Dichteoperator (statistischen Operator) $\rho$ über dem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ beschrieben wird, wird bei einer Messung einer Observablen mit Werten in $\Omega$, die durch ein POVM $\mu$ dargestellt wird, die Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\mathcal {A}}\ni A\mapsto \operatorname {Spur} (\mu (A)\rho )$ als Vorhersage für das Ergebnis zugeordnet.

Ein Beispiel, das nur schwer in der von-Neumannschen Theorie, aber leichter mit Hilfe von POVM formuliert werden kann, ist die Observable der Ankunftszeit eines Teilchens in einem Detektor.