Diskussion:Lineares Gleichungssystem

Lösungsmenge

"Das homogene Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Nullvektor die einzige Lösung („triviale Lösung“) ist." ist falsch: wenn x != x' (x, x' Lösungen des inhomogenen GS), dh das inhomogene System wäre nicht eindeutig lösbar, resultiert daraus dass das homogene System ebenfalls Lösung(en) != 0 hat da (x - x') Lösung des homogenen GS.

Dann hat das homogene System aber mehrere Lösungen und ist nicht eindeutig lösbar. Man beachte das Wort eindeutig. --Squizzz 16:37, 23. Okt. 2006 (CEST)

Fehler Ax + b = 0

Es ist klar, dass nach Zusammenfassung in Vektoren und Matrix das Gleichungssystem

Ax = b

geschrieben werden kann. Umgeformt ergibt sich dann:

Ax - b = 0

Ich schlage vor, im Artikel die erste Form zu verwenden (Ax = b). Es wird nirgendwo im Artikel die Form Ax - b = 0 zur Erklärung benötigt. Akropolit 14:30, 6. Nov 2004 (CET)

lineare Gleichung

Also das ist hier alles nicht ganz korrekt, siehe auch Lineare Gleichung. Was ist denn mit einer mehrdimensionalen Unbekannten?

Sobald ich dazu komme, versuch ich das zu korrigieren. Aber vielleicht ist jemand schneller! --Anonym 13:12, 3. Jul 2004 (CEST)

bin dazu gekommen --Anonym 15:30, 4. Jul 2004 (CEST)

Beispiel passt nicht wirklich

Als ich mir diese Seite hier durchgelesen hab, hab ich nach der Definition ein Beispiel erwartet dass auch dazu passt, aber das was hier steht hat mit dem Rest des Artikels (Matrizen, ...) nichts zu tun. Ich finde das sollte man entweder so ändern dass man ein Beispiel dafür hat wie das Lösen per Matrix aussieht oder als alternative Methode darstellen (Einsetzungsverfahren oder wie das heißt). Wenn ich nachher Zeit finde denke ich mir mal ein besseres Beispiel aus. -- DeNayGo 11:31, 6. Mai 2005 (CEST)

Matrizen sind nur ein Aspekt des Themas. Das Beispiel ist nicht das Beste aber ich finde nicht, dass man ein Matrizenbeispiel machen sollte, das gehört in Matrix (Mathematik). Lösungsverfahren gibt es ja eine ganze Menge, momentan sind sie in andere Abschnitte eingebaut, ein Abschnitt der sich mit der Lösung von Gleichungssystemen befasst wäre aber sicher nicht schlecht, das sollte dann aber mehr als eine reine Aufzählung sein.--G 15:20, 6. Mai 2005 (CEST)

überflüssiges Bild

Was soll das Bild von der Schultafel mit den Gleichungssystemen? @Stefan-XP, am besten mach doch gleich ein Foto von einer komplett vollgeschriebenen 3er-Tafel(3 solche Tafeln übereinander!) aus einer LinA-Vorlesung :-) --217.87.152.227 03:18, 17. Mai 2005 (CEST)

Ich fand es illustrativ, sonst hat es noch niemanden gestört, eigntlich wollte ich grade reverten, aber mir ist es recht Egal ob das Bild hier zu finden ist oder nicht. --Stefan-Xp 12:37, 17. Mai 2005 (CEST)

Ich sehe auch keinen wirklichen Nutzen, zumal man dem fertigen Tafelbild nicht so recht entnehmen kann, was da so vor sich gegangen ist.--Gunther 12:48, 17. Mai 2005 (CEST)

hast im Prinzip Recht, aber ich fand es dennoch "hübsch" für den Artikel... is aber egal, das Bild hat ja noch andere "Existenzberechtigung"... --Stefan-Xp 13:27, 17. Mai 2005 (CEST)

Formen von Gleichungssystemen

Bin beim Umschachteln von auf Quatsch gestossen - oder nicht?

Habe ich das richtig verstanden, daß ein Gleichungssystem in Stufenform nicht eindeutig lösbar ist?

Ja, wenn es "echte", d.h. waagerechte Stufe mit Breite größer 1 gibt.--Gunther 23:54, 9. Jun 2005 (CEST)

Es ist eindeutig lösbar wenn jede Zeile genau eine Unbekannte weniger vorkommt (es auch in Dreiecksform ist). Wenn es nur in Stufenform ist ist es nicht eindeutig lösbar.--G 14:44, 10. Jun 2005 (CEST)

Gaußsche Norm

was ist das? wird auch im verlinkten Artikel über normierte Räume nicht erklärt..

Und-Verknüpfung

Ich habe gerade gelesen ein lineares Gleichungssystem sei eine Und-Verknüpfung. Kann mir ein Verbandstheoretiker verraten, ob es eine entsprechende Oder-Verknüpfung gibt? Ich vermute etwas multiplikatives. An der Aufgabe sieht man die Und-Verknüpfung ganz gut ein. Vater und Sohn zusammen y und Vater x·mal so alt wie Sohn.--Roomsixhu 02:38, 17. Jul 2005 (CEST)

Lösbarkeit

Würde unter den Punkt Lösbarkeit nicht noch ein Verweis auf die Determinante weiter unten gehören?

Es ist übrigens nicht richtig, dass die Lösungsmenge entweder leer, nur ein Element oder unendlich viele Elemente enthält. Ich glaube, es ist wichtig, das man an dieser Stelle sagt, dass es sich hier um Einträge aus den reelenn Zahlen handelt (da wäre das so richtig). Betrachtet man den Körper mit zwei Elementen, so besteht die Möglichkeit, das man auch eine 4-elementige Lösungsmenge bekommt. Bsp.: A sei Matrix 2x3 mit erster Zeile nur 1 und zweite Zeile nur 0. sei b Vektor 2x1 mit b=0. Die Lösungsmenge ist dann {(0,0,0) + l*(1,1,0) + k*(1,0,1)} mit l,k aus dem Körper mit zwei Elementen. Damit ergibt sich offensichtlich eine 4-elementige Lösungsmenge.

Vater und Sohn

Ja, und wie löst man jetzt das Rechen-Beispiel unter Matrix - Einsatz? Könnter das noch eben mit einfügen, daß man auch als mäßiger Mathematiker was davon hat? Thx.

Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Der Abschnitt "Loesungsverfahren" wird bestimmt noch erweitert werden. --DaTroll 16:28, 19. Jan 2006 (CET)

Super, vielen Dank!

nichtlineare Gleichungssysteme

Ich wurde von Gleichungssystem auf Lineares Gleichungssystem weitegeleitet. Wo werden nichtlineare Gleichungssysteme in der Wikipedia behandelt? --RokerHRO 12:15, 30. Jul 2006 (CEST)

Soweit ich weiß gibt es dazu noch keinen Artikel.--G 15:27, 4. Aug 2006 (CEST)

Den habe ich auch schon vermisst. Insbesondere, da lineare Gleichungssysteme vergleichsweise einfach zu lösen sind. Eine Übersicht über Lösungsverfahren (die verschiedenen Iterationsverfahren) nichtlinearer Gleichungssysteme wäre klasse, ich traue mir aber nicht zu, selbst so etwas zu schreiben Iridos 00:45, 8. Sep 2006 (CEST)

Ich möchte gerne noch mal darauf hinweisen! Ich bin auch dafür, dass ein Artikel über nichtlineare Gleichungssysteme angelegt wird. Ich habe selbst wenig Ahnung davon, aber es würde mich sehr interessieren! --84.178.55.138 21:00, 11. Mär. 2007 (CET)

überbestimmt, unterbestimmt, was denn nun?

Der Absatz

"Hat das Gleichungssystem weniger Gleichungen als Unbekannte, so spricht man von einem unterbestimmten Gleichungssystem. Hat es jedoch mehr Gleichungen als Unbekannte nennt man es ein überbestimmtes Gleichungssystem."

widerspricht sich mit dem Artikel zur Unterbestimmtheit. Dort heißt es

"Ebenso ist ein Gleichungssystem unterbestimmt, wenn die zweite Gleichung keine neue Bedingung enthält."

Demnach wäre folgendes Gleichungssystem nach dem einen Artikel unter- und nach dem anderen Artikel überbestimmt,

 (1)   2x - 3y = 5
 (2)   4x - 6y = 10
 (3)   6x - 9y = 15

denn es enthält ja mehr Gleichungen als Unbekannte -> überbestimmt, aber zu wenige Informationen für eine eindeutige Lösung -> unterbestimmt.

Da ich davon ausgehe, dass ein Gleichungssystem nicht gleichzeitig über- und unterbestimmt sein kann, sollte dieser Widerspruch beseitigt werden; zumal die widersprüchlichen Seiten auch noch untereinander verlinkt sind. --Skoepp 17:21, 15. Dez. 2006 (CET)

Ich habe noch einmal nachgeschlagen (im Bronstein) dort geht es nur um die Zahl der Gleichungen, es ist ja auch nicht immer gleich offensichtlich, ob eine Gleichung neue Informationen erhält.--G 23:39, 16. Dez. 2006 (CET)

Deswegen habe ich die fragliche Passage doch mittlerweile auf die Anzahl linear unabhängiger Gleichungen erweitert und diesen Begriff vorsichtshalber auch erläutert. --PeterFrankfurt 00:07, 18. Dez. 2006 (CET)

So ist es auf jeden Fall nicht falsch, aber die Frage bleibt, wie es bei einem System ist, das nicht linear unabhängig ist.--G 10:53, 18. Dez. 2006 (CET)

Dann ist auf jeden Fall der Rang der Matrix kleiner, und damit ist es wahrscheinlich unterbestimmt. --PeterFrankfurt 20:50, 18. Dez. 2006 (CET)

Was ihr gerade tut ist, die durch die Literatur nicht gedeckte Begriffsbildung die in Unterbestimmt vorgenommen wird, auch noch weiter zu verbreiten. Ich habe es entsprechend wieder rueckgaengig gemacht. Letzterer Artikel sollte dringend ueberarbeitet oder geloescht werden. --P. Birken 14:28, 19. Dez. 2006 (CET)

Willst Du uns hier veräppeln? Im Artikel Unterbestimmt steht doch praktisch überhaupt nichts, jedenfalls nichts mathematisch fassbares. Die einfache Anzahl der Gleichungen ist komplett unwichtig. Nur relevant ist die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen, denn die kann man nicht zu Nullzeilen wegtransformieren. Das ist mathematisch exakt und nicht so wischiwaschi ungenau wie das, was jetzt wieder da steht. Wir wollen hier doch Präzision abliefern. --PeterFrankfurt 01:45, 20. Dez. 2006 (CET)

Wir halten wir uns an das, was in den Lehrbüchern steht. Dein Text kommt rein, wenn Du belegen kannst, dass dies so in der Literatur verwendet wird. Was aktuell da steht ist eine saubere Definition von unterbestimmten und überbestimmten linearen Gleichungssystemen. Wir wollen hier nämlich keine Definitionen erfinden. --P. Birken 08:33, 20. Dez. 2006 (CET)

Wenn sich eine oder mehrere Gleichungen als Linearkombinationen anderer Gleichungen erweisen, so können eine oder mehrere Gleichungen gestrichen werden, ohne das sich an der Lösungsmenge etwas ändert. Es können so lange Gleichungen gestrichen werden, so lange noch Linearkombinationen möglich sind. Je nachdem der Zahl der übrigbleibenden Gleichungen ist dann das Gleichungssystem unterbestimmt, eindeutig oder überbestimmt. --Physikr 17:58, 20. Dez. 2006 (CET)

Hallo Physiker, das man linear abhängige Gleichungen streichen kann ist glaub' ich allen klar. Es geht darum wie man normalerweise überbestimmt/unterbestimmt definiert und die Definition, wie sie in überbestimmt steht habe ich noch nicht gesehen. Sondern

• überbestimmt="mehr Gleichungen als Unbekannte"
• unterbestimmt="weniger Gleichungen als Unbekannte"

So steht's auch im oben zitierten Bronstein. Grüße --Mathemaduenn 20:15, 20. Dez. 2006 (CET)

Ich hab nochmal Bücher gewälzt: die meisten Bücher erwähnen den Begriff gar nicht, sondern beschäftigen sich nur mit der Lösungstheorie, die mit Anzahl der Unbekannten und Gleichungen natürlich nur mittelbar zu tun hat. Einzige Ausnahme ist Mackens & Voss, Mathematik I für Ingenieure, die es so definieren wie es jetzt im Artikel steht, also rein über die Zahl der Gleichungen und Unbekannten. Es ist vielleicht die Frage, ob man das ganz aus der Einleitung rausnimmt und statt dessen die Lösungstheorie etwas stärker anschneidet. --P. Birken 21:05, 20. Dez. 2006 (CET)

Quelle: Mathe-Kursvorlesung 3. Semester "Lineare Algebra", Unterthema "lineare Abhängigkeit" (zu meiner Uni-Zeit). Es ist ja im Unterkapitel "Lösungsmenge" schon angedeutet, wenn auch nur zart, dass eben diese Linearkombinationen von Zeilen erlaubte Transformationen einer Matrix sind. Einerseits benutzt man sie, um eine Matrix zwecks Lösung auf Dreiecks- oder Diagonalform zu bringen. Andererseits kann man am Ergebnis dieser Umformungen auch den Rang der Matrix ablesen, und das ist nichts anderes als die Anzahl linear unabhängiger Gleichungen dieses Systems. Nur ein anderer Ausdruck. Nochmal: Anzahl der Gleichungen im Ausgangssystem = irrelevant. Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen = Rang der Matrix = Anzahl der nicht verschwindenden Diagonalelemente (nach Umformung in Diagonalmatrix) = relevant. Noch ein weiterer Ausdruck wäre die Abhängigkeit von der Determinante: Wenn die Determinante Null ist = wenn Rang der Matrix kleiner Unbekanntenzahl, dann unterbestimmt. Das ist elementare Mathematik. Da ich eigentlich Physik studiert habe, kann ich im Augenblick keine Seitenzahl in einem Mathebuch liefern, aber vielleicht kann einer der Kollegen dem Ungläubigen und Unwissenden hier aushelfen? - Die Wikipedia bildet ja, gerade merke ich erst, dass wir ja einen Artikel "Lineare Unabhängigkeit" haben! Sorry, dass ich den bisher übersehen habe. Fall also belegt, geklärt, ich reverte also mal wieder. --PeterFrankfurt 22:51, 20. Dez. 2006 (CET)

Hallo PeterFrankfurt, kleine Korrektur den Ungläubigen ;-) Wie weiter oben schon gesagt Standard ist eben:

• überbestimmt="mehr Gleichungen als Unbekannte"

Sinnhaftigkeit ist dabei erstmal zweitrangig. Um allerdings keine andere Definition für nichtlineare Gleichungssysteme zu verwenden oder aber gleich zu Beginn komplizierte Lösungstheorien für diese Art der GS einzuführen würde ich das auch für sinnvoll halten. Generisch sind diese Formulierungen ohnehin oft äquivalent. Noch ein paar Literaturquellen zum Nachschauen(steht überall im index):

• Martin Hanke-Bourgeois, Grundlagender numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens, Teubner (2002)
• Golub van Loan, Matrix Computations, North Oxford Academic Publishers (1983)("overdetermined systems")
• Kielbasinski/Schwetlick, Numerische lineare Algebra, Deutscher Verlag der Wissenschaften (1988)

Die Verlinkung habe ich entfernt und die Begriffe aus der Einleitung rausgenommen. Hier sollte man tatsächlich eher kurz zur Lösbarkeit was sagen. Weil das eben wichtiger ist. Grüße --Mathemaduenn 10:51, 21. Dez. 2006 (CET)

Kannst Du das bitte lassen und auch mal gucken, was Du da eigentlich tust? Darüberhinaus ist eine Mathekursvorlesung keine akzeptable Quelle, da sie nicht nachprüfbar ist. Im Gegensatz dazu wurde in zwei anderen Werken die aktuelle Fassung verifiziert. Nochmal: es geht hier nicht um Sinn und Unsinn, es geht nur um die Frage wie ein Begriff definiert ist. Recht hast Du, dass der Begriff so wie er laut Literatur gebräuchlich ist, nicht so wichtig ist. Das heißt aber nicht, dass wir hier einfach den Begriff umdefinieren, sondern dass wir dann einfach dem Thema weniger Raum im artikel geben sollten. All das wurde auch shcon in dieser Diskussion genannt. --P. Birken 23:42, 20. Dez. 2006 (CET)

Hier ist Hartnäckigkeit nötig. Wenn Lehrbücher solche Sachverhalte zum Zweck des einfacheren Verstehens erstmal lax formulieren, ist das deren Problem. Wenn man dort weiter liest, wird man irgendwann auf den Folgeseiten auf die Vervollständigung und Präzisierung der Aussagen treffen, ansonsten sollte man so ein Buch schnellstens entsorgen. Nochmal: Es gibt solche Gleichungen und solche. Die, die im Ausgangssystem stehen, können so zahlreich sein, wie sie wollen, das zählt am Ende nur dann, wenn sie untereinander linear unabhängig sind.

Konkretes Beispiel:

1*x1+1*x2+1*x3=2
1*x1-1*x2+1*x3=0
3*x1-1*x2+3*x3=2

Dies sind scheinbar (aber eben nur scheinbar) 3 Gleichungen für 3 Unbekannte, also sollte es nicht unterbestimmt sein. Bei genauerem Hinsehen stellt sich aber heraus, dass die dritte Gleichung dadurch entstanden ist, dass zur ersten das Doppelte der zweiten addiert wurde. Wenn man das rückgängig macht, fällt die dritte Zeile auf lauter Nullen zusammen. Also sind es nur zwei linear unabhängige Gleichungen. Das System ist definitiv unterbestimmt. Das kann man aber erst entscheiden, nachdem man die lineare Unabhängigkeit verifiziert hat und niemals vorher, sonst riskiert man einen Fehler. - Bekommt jetzt jemand mit, was ich meine? - Ich sträube mich einfach dagegen, in der aktuellen Form einfach von "Gleichungen" zu sprechen. Das ist nach obiger Betrachtung einfach zu wenig aussagekräftig. Und außerdem ist dieses Problem unter dem Lemma Lineare Unabhängigkeit (und dort dem Unterkapitel "Lineare Gleichungssysteme") genau so abgehandelt, wie ich es hier auch erbitte. Dort ist es korrekt, dann sollte man das bei diesem Artikel hier auch noch hinkriegen. Bitte. --PeterFrankfurt 02:48, 26. Dez. 2006 (CET)

Was Du schreibst, wird auch durch Wiederholung nicht richtiger. Es geht hier nicht um Sinn und Unsinn, sondern darum, wie Begriff in der Literatur, nicht von Dir definiert werden. Es ist nicht das erste mal, dass Du in mathematischen Artikeln irgendwas reinschreibst, was Deiner persönlichen Sicht der Dinge und nicht der der Fachwissenschaft entspricht und ich möchte Dich bitte, das endgültig zu lassen. --P. Birken 16:03, 27. Dez. 2006 (CET)

Na, na, na, es geht doch nicht um mich. Es geht um die Logik. Es geht nicht um Geschmack. Wenn mir nachgesagt wird, meine Formulierung sei "nicht richtig", dann streite ich das ab. Und ich akzeptiere als Entgegnung keine Zitate, sondern nur mathematische Argumente, s. u. Wenn hier in einem Mathematik-Artikel die Logik so eklatant verletzt wird, dann muss man diesen Fehler gefälligst schnellstmöglich korrigieren. Nochmal für kleine Hände: Wenn man der derzeitigen Formulierung folgt - dass es allein auf die Anzahl der Gleichungen im Ausgangssystem ankäme, ob ein System eindeutig, unter- oder überstimmt sei - bekommt man in dem von mir eben angeführten Gegenbeispiel heraus, dass dies zu der fehlerhaften Aussage führt, dass obiges System eindeutig lösbar sei. In Wirlichkeit ist es aber unterbestimmt. Ein eherner Grundsatz in der Mathematik lautet: ein Gegenbeispiel genügt. Also ist die derzeitige Formulierung falsch. Grottenfalsch. Und das steht hierdurch fest, vollkommen egal was in irgendwelchen noch so renommierten Büchern steht. Wo soll an dieser Argumentation was falsch sein? Die lässt sich doch nachvollziehen. Und wenn ein Lehrbuch diese Formulierung wirklich so (und ohne folgende Präzisierung, die hier evtl. verschwiegen wurde) aufstellen sollte, dann auf den Kehrricht mit diesem Buch. In meiner Vorlesung kam es jedenfalls richtig. Nachprüfbar richtig. Es gibt also auch jene Formulierung außerhalb meines Hirns. Hier in der Wikipedia muss bitteschön mathematisch korrekt formuliert werden und nicht Millionen Fliegen gefolgt werden, die sich ja wohl nicht irren können. Es handelt sich hier doch um einen Sachverhalt, den jeder mit etwas mathematischer Grundbildung nachvollziehen kann und mir eigentlich recht geben muss. Wenn Ihr das wirklich ernsthaft verweigert, dann muss man an der Menschheit (ver)zweifeln. --PeterFrankfurt 21:49, 27. Dez. 2006 (CET)

Äh, noch ein Punkt. Die Rede ist hier immer von "Definition" und "Begriffsbildung", als ob es bei eindeutig/unter-/überbestimmt um eine willkürliche Festlegung ginge. Das ist ja wohl nicht der Fall. Es handelt sich um einen harten Sachverhalt, der für jedes Gleichungssystem ermittelt werden kann (hoffentlich von den meisten Mitlesern hier). Und eine sinnvolle Definition muss ja wohl dem Sachstand nach Ermittlung aller Details gerecht werden. Eine Definition, die nur auf den äußeren Anschein abhebt (Anzahl der Gleichungen im Ausgangssystem), ist da m. E. fehl am Platze, weil sie dann wie im obigen Beispiel von der Realität als falsch entlarvt werden könnte. Solche fehleranfälligen Begriffe muss man meiden wie die Pest. --PeterFrankfurt 22:03, 27. Dez. 2006 (CET)

Ah! Erfolg auf der ganzen Linie. Oben haben ein paar Leute den Bronstein zitiert, und zwar falsch! Ich habe meinen endlich wieder hervorgeholt und nachgeschlagen. Ok, er ist 9. Auflage von 1969, aber an diesem Teil der Mathematik hat sich ja wohl seitdem nichts geändert. Es ist genau so, wie ich es schon vermutet habe: Wenn man weiterliest, wird es vollkommen präzise, vollständig und korrekt, mit anderen Worten so, wie ich es haben möchte. Ok, er verwendet eine noch andere Begriffswahl: eindeutig, unlösbar (=überbestimmt) und unbestimmt (=unterbestimmt). Man möge sich folgenden Auszug aus dem Bronstein auf der Zunge zergehen lassen: "Ein Gleichungssystem der Form (**) wird wie folgt gelöst: Wir bestimmen den Rang r der Matrix..." Mein Reden seit ein paar Tagen. - Jetzt geht es mir besser. Lest also bitte alle die Quellen ein bisschen sorgfältiger und baut endlich die Erweiterung wieder ein, die ihr mir immer wieder weggestrichen habt. Sie ist vom Bronstein voll bestätigt. Falls Ihr dem mehr vertraut als mathematischem Sachverstand. --PeterFrankfurt 00:09, 28. Dez. 2006 (CET)

Mein neuer Bronstein erwähnt die Begriffe ueberhaupt nicht. Ansonsten siehe die weiteren Literaturangeben von mir und Mathemaduenn. --P. Birken 21:59, 28. Dez. 2006 (CET)

Bronstein 6. Auflage, 2005: S. 286 (4.116): Als Überschrift "Überbestimmte Gleichungssysteme", dann "...besitze eine rechteckige Koeffizientenmatrix (...) Wegen m >=n spricht man von einem überbestimmten System", wobei m die Zahl der Zeilen und n die Zahl der Spalten angibt. --G 01:05, 5. Jan. 2007 (CET)

Mich würden halt noch brennend die zwei, drei Sätze davor und dahinter interessieren. Kannst Du die womöglich auch noch zitieren? --PeterFrankfurt 03:18, 5. Jan. 2007 (CET)

Auf Lösbarkeit wird vorher eingegangen(zumindest wenn es die Version des Harri Deutsch Verlages ist und sich seit 1995 nichts geändert hat.) Genau wie jede der genannten Quellen auf Lösbarkeit eingeht(vermutlich da bin ich jetzt zu faul zum nachschauen alternativ als bekannt vorausgesetzt). Das ist aber nicht der Punkt. Der Punkt ist ein lineares Gleichungssystem heißt:

• eindeutig lösbar wenn es eine eindeutige Lösung gibt.
• nicht lösbar wenn es keine Lösung gibt.
• unbestimmt wenn es mehrere Lösungen gibt.
• quadratisch wenn die Anzahl der Gleichungen mit der der Unbekannten übereinstimmt.
• überbestimmt wenn es mehr Gleichungen als Unbekannte gibt.
• unterbestimmt wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt.

Das Fachbegriffe nicht unbedingt der normalen Sprachlogik folgen ist vllt. nicht schön ist aber eben so. Es sind Festlegungen die sich wohl als praktisch erwiesen haben. Imho aus dem von G genannten Grund. Das Gleichungssysteme linear abhängige Zeilen haben läßt sich in Gleitkommarechnung ohnehin nicht entscheiden da jede Störung (fast sicher) daraus unabhängige Zeilen macht. Grüße --Mathemaduenn 08:44, 5. Jan. 2007 (CET)

Ich denke auch, dass unterbestimmt und überbestimmt zunächst mal die allgemein gehaltenen Definitionen über die Gestalt der Koeffizientenmatrix sind. Was es da nun für spezielle Folgen, etwa Inkonsistenz oder Lösbarkeit bei überbestimmten GS gibt, kann man dann entsprechen analysieren, ja nach Rang der Matrix. --Diabas 12:41, 5. Jan. 2007 (CET)

Die Definition ist ein eigener Abschnitt. Davor wird der Gaußsche Algorithmus, danach das Lineare Quadratmittelproblem behandelt, wobei da nicht zu unserem Thema drinnen steht.--G 00:01, 8. Jan. 2007 (CET)

Ich fasse mal zusammen.

Die gebräuchliche Definition scheint zu sein:

Ein LGS mit n Gleichungen und m unbekannten heißt

• überbestimmt, wenn n>m
• unterbestimmt, wenn n<m

Die intuitive sprachliche Deutung der Begriffe

• "überbestimmt = zu viele Informationen, also nicht lösbar"
• "unterbestimmt = zu wenige Informationen, also unendlich viele Lösungen"

oder eine Festlegung auf "linear unabhängige" Gleichungen entspricht damit nicht der gängigen mathematischen Definition und ist damit hier nicht zulässig.

Es bleibt lediglich die folgende relativ schwache Aussagen über die Lösbarkeit des LGS:

"LGS unterbestimmt" folgt "LGS nicht eindeutig lösbar (d.h. gar keine oder unendlich viele Lösungen)"

Aus "überbestimmt" folgt ohne weitere Informationen keine Aussage über die Lösungsmenge. In der Praxis führen solche Systeme in der Regel jedoch zu keiner exakten Lösung -> Ausgleichsrechnung. --Skoepp 20:44, 14. Jan. 2007 (CET)

Entscheidend ist der Rang r der Matrix und damit die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungssysteme. Die Anzahl der Gleichuzngssysteme ist völlig uniteressant!!!!!

• Wenn $\left(r<m\right)\land \left(\exists b_{i}\neq 0\ \forall i>r\right)$ ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Ansonsten ist es lösbar.

Ist das Gleichungssystem lösbar, werden die Zeilen $\left(r+1\right)\cdots n$ nicht benötigt, da diese in der Halbdiagonalform nur aus Nullen bestehen. Bei Lösbarkeit des Gleichungssystems gilt weiter:

• Wenn $r=n$ ist das System eindeutig lösbar.
• Wenn $r<n$ hat das System unendlich viele Lösungen, wobei der Lösungsraum genau $n-1$ Dimensionen besitzt.

MovGP0 22:01, 27. Mär. 2007 (CEST)

Da waren wir schon etwa 10 Kb Text weiter oben. Neue Argumente? --Mathemaduenn 22:24, 27. Mär. 2007 (CEST)

PeterFrankfurt hat recht. Alles andere ist falsch. Aber als ordentlicher Mathematiker nimmt man einen Beweis, welcher etwa auch durch einen Gegenbeweis erbracht werden kann. Ich mache das im Folgenden so einfach wie möglich, damit es jeder versteht.

Beweis

${\begin{matrix}x+y=4\\x+y=4\end{matrix}}$

Sind zwei Gleichungen, aber nur eine linear unabhängige Gleichung. Obwohl man also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte hat, kann man das Gleichungssystem nicht eindeutig lösen. Damit ist bewiesen, dass nicht die Anzahl der Gleichungen (sondern die Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen) relevant ist.

Da es bewiesen ist, dass mathematische Beweise dieser Art unantastbar sind, bin ich auf deine Gegenargumentation gespannt.

MovGP0 23:12, 27. Mär. 2007 (CEST)

Ganz einfach es geht nicht um einen Beweis sondern um eine Definition viele Grüße --Mathemaduenn 23:34, 27. Mär. 2007 (CEST)

Blödsinn: Eine allgemein anerkannte Definition, die einen fehlerhaften Sachzusammenhang herstellt, musst man mir in der Mathematik erst mal zeigen. --PeterFrankfurt 02:37, 28. Mär. 2007 (CEST)

ICh hoffe das ist mal eine schwer umzuinterpretierende Quelle --Mathemaduenn 12:34, 28. Mär. 2007 (CEST)

Leider kann ich da nichts sehen, da ich keinen Account bei Google habe und auch zögere, einen einzurichten. Aber aus den zwei der früher angeführten Literaturstellen, die ich bisher einsehen konnte, schließe ich mal, dass auch diese hier einfach falsch interpretiert wurde; jene zwei unterstützen eindeutig meine Sicht der Dinge: seitenlange Vorreden mit Warnungen, dass man vor jeder Aussage erst den Rang der Matrix und des GS bestimmen muss, und dann, viel später, kommen irgendwann die Begriffe unterbestimmt und überbestimmt. Für diese gelten also auch jene kompletten Vorreden, man darf sie mitnichten aus dem Zusammenhang reißen. --PeterFrankfurt 14:21, 28. Mär. 2007 (CEST)

Welche Quellen sind das? --Mathemaduenn 15:30, 28. Mär. 2007 (CEST)

Bronstein und der Auszug aus "Numerical Recipes in C: The Art of Programming", den Du mir mal geschickt hattest. --PeterFrankfurt 18:23, 28. Mär. 2007 (CEST)

Dann hat sich ja nichts geändert zum einen der alte Bronstein in dem die Begriffe nicht auftauchen und zum anderen der link mit folgendem Zitat zu overdetermined: "In the opposite case there are more equations than unknowns,M >N. When this occurs there is, in general, no solution vector x to equation (2.0.1), and the set of equations is said to be overdetermined." --Mathemaduenn 20:30, 28. Mär. 2007 (CEST)

Wie ich es gesagt habe, nicht vollständig gelesen. Wenn man das Zitat zwei Absätze vorher beginnt, steht dort "If M < N, or if M = N but the equations are degenerate, then there are effectively fewer equations than unknowns." Das ist aber sowas von haargenau das, wovon ich immer rede. Erst dann kommt jener Satz oben, zu dem das zuletzt Zitierte also mit zur Voraussetzung gehört: Man muss die effektive Anzahl der Gleichungen betrachten, also die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen des GS. q.e.d., Punkt für mich. --PeterFrankfurt 02:22, 29. Mär. 2007 (CEST)

Die Verwendung des Wörtchens overdetermined bleibt davon unberührt oder steht da "im Folgenden werden wir stets lin. unabhängige Gleichungen annehmen"? --Mathemaduenn 10:49, 29. Mär. 2007 (CEST)

Ja natürlich. Wie ich es formulierte, "seitenweise Voraussetzungen, die ab da auch für die folgenden Aussagen gelten". An einem einzelnen Absatzende ist ja nicht der Text zuende. Also gelten die Einschränkungen, die zwei Absätze vorher gemacht werden, auch noch an der Stelle mit dem overdetermined. Da fängt ja zwischendurch kein neues Kapitel an. Das ist für mich eindeutig. - Nochmal: Nirgendwo in der Mathematik geht man (bisher, Ihr wollt das ja anscheinend ändern) so vor, dass man sagt, na ja, pappen wir erstmal einen Namen an die Sache, wird schon grob stimmen, und wenn wir nach genauerem Hinsehen das Gegenteil finden, ändern wir halt die Beschriftung. Nein, da geht von vornherein so exakt wie nur irgend möglich vor. Und das wird in diesem Text ja auch gemacht. Es werden reihenweise die Voraussetzungen und Aspekte erläutert, die beachtet werden müssen. Immer. Und danach fällt das Stichwort overdetermined. Und da soll man all diese Vorreden schon wieder weggeschmissen haben? Also nee. --PeterFrankfurt 18:17, 29. Mär. 2007 (CEST)

Wenn die Vorausetzungen im Folgenden gelten sollen sagt das jeder gewissenhafte Autor mit dazu. Siehe das unten von MovGP0 zitierte. --Mathemaduenn 09:59, 30. Mär. 2007 (CEST)

Aber doch nicht alle drei Zeilen. Das wird im Fließtext als lebenswichtig zu beachtende Bedingung erläutert und ist dann ein paar Zeilen später innerhalb desselben Kapitels natürlich immer noch gültig. So eine Selbstverständlichkeit muss keinesfalls jedesmal wieder neu aufgeführt werden. --PeterFrankfurt 17:03, 30. Mär. 2007 (CEST)

Sicher nicht alle 3 Zeilen sondern nur einmal wie unten eben "Im folgenden wird dies stets vorausgesetzt." Wird aber nicht gemacht. --Mathemaduenn 18:27, 30. Mär. 2007 (CEST)

Ich hab mich mit meinem Datenkraken-Google-Account eingeloggt und mir das Buch angesehen. Ich zitiere Abschnitt 2.3 auf Seite 33:

Wir betrachten wieder ein lineares Gleichungssystem Ax = b, lassen aber zu, daß mehr Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind, also A ∊ ℝ^m×n, b ∊ ℝ^m mit m > n gilt. Solche Systeme nennt man überbestimmt.

aber auf der selben Seite findet sich einen Absatz weiter unten

Falls die Spalten von A linear unabhängig sind, …. Im folgenden wird dies stets vorausgesetzt.

Somit möchte ich behaupten, dass das Buch einfach nur schlecht gegliedert ist, da ebendiese Vorraussetzung bereits einen Absatz früher angenommen wurde. — MovGP0 22:57, 28. Mär. 2007 (CEST)

Nachtrag: Es gibt in der Mathematik keine Definition ohne Beweis! Es geht also sehr wohl um Beweisführung. Alles was in der Mathematik nicht bewiesen ist ist eine Vermutung und keine Definition. — MovGP0 23:55, 28. Mär. 2007 (CEST)

"schlecht gegliedert". Soso.Naja da braucht ich ja nix erwidern. Oder ist das Buch nach WP:QA nicht als Referenz geeignet. --Mathemaduenn 10:49, 29. Mär. 2007 (CEST)

Das Problem ist wohl, dass sich sowohl Quellenangaben finden lassen, welche die eine Sichtweise vertreten, als auch Quellen, welche die andere Sichtweise vertreten. Allerdings scheint die Variante welche die Bestimmtheit andhand der Lösbarkeit definiert etwa in Webforen häufiger verbreitet zu sein. Interessant ist es etwa dieses Beispiel, bei dem die Definition der Bestimmtheit unter der Überschrift Lösbarkeit firmiert.

SVL schlägt einen Konsens vor, bei dem beide Varianten im Text Erwähnung finden sollten. Ich bin aber nicht sicher ob das sinvoll ist, da sich beide Varianten ausschließen und man meiner Meinung nach eine Variante bevorzugen müsste. — MovGP0 23:32, 12. Apr. 2007 (CEST)

Neue Beiträge

Ich habe die neuen Beiträge erstmal zurückgesetzt: i) In mathematischen Artikeln bitte nicht \vec etc verwenden. Siehe dazu auch Diskussion:Vektor. ii) Das Beispiel bringt IMHO keinen Mehrwert für diesen Artikel. Es erklärt das Gauß-Verfahren, das sollte aber im Artikel zum Gauß-Verfahren passieren und nicht hier. Darüberhinaus ist der Abschnitt einfach nur dazugeklatsche und sortiert sich nicht in den Artikel ein. Vorstellbar wären IMHO ganz knappe Beispiele beim Abschnitt zur Lösbarkeit, dann aber nur die Form zeigen, an der man das direkt ablesen kann. iii) Für den Abschnitt zur Trapezform gilt dasselbe, er ordnet sich nicht in den Artikel ein, darüberhinaus ist es fraglich, wieso das überhaupt gebracht wird: Trapezform ist ein eher unüblicher Begriff. --P. Birken 15:45, 18. Mär. 2007 (CET)

1. Die Vektorschreibweise mit dem Pfeil wende ich nur zur besseren Unterscheidung an, grundsätzlich verwende ich die korrekte Fettschreibweise. Kursivschrift ist jedenfalls falsch.
2. Genau genommen basiert die Lösung der Beispiele auf verschiedenen Lösungsalgorithmen - hier wollte ich vor allem auf die Lösbarkeit eingehen, da diese wie ich finde nicht gut beschrieben ist.
3. Einen Eintrag bei Gauß-Algorithmus hielt ich nicht richtig, da wie gesagt das Beispiel verschiedene Algorithmen verwendet.
4. Den Begriff "Trapezform" hab ich vom Mathe-Professor übernommen. Wie gut, dass ich auch den Begriff "Halbdiagonalform" erwähnt habe. Man kann ja in den Artikel schreiben, dass der Begriff "Trapezform" eher selten verwendet wird. Ich glaube aber der Begriff sollte der Vollständigkeit halber erwähnt werden.
5. Das sich der Abschnitt nicht gut eingliedert mag daran liegen, dass ich die Matrixschreibweise benutze und der Artikel eine Polynomschreibweise verwendet. Ich wage jedoch zu behaupten, dass die Matrixschreibweise professioneller ist.
6. Mein Vorschlag: Gliedern wir die Beispiele in einen Unterartikel aus.
7. Zweiter Vorschlag: Gliedern wir die Beispiele wieder ein, aber für den Lösungsweg verweisen wir auf den entsprechenden Artikel.

MovGP0 16:34, 18. Mär. 2007 (CET)

Ich bin auf jeden Fall gegen die Matrixschreibweise, das ist vielleicht professioneller, aber hier sollten wir die einfachere Schreibweise benutzen. Beispiele schaden sicher nicht, vielleicht könnte man sie etwas kürzen.--G 17:41, 18. Mär. 2007 (CET)

Seltsam. Ich halte die Matrixschreibweise für einfacher, da sie ungemein weniger Arbeit macht. Und ich sage das, obwohl ich selbst die Matrixschreibweise erst seit dieser Woche verstehe und bisher immer mit Polynomen herumgerechnet habe.

Kürzen kann man die Beispiele einfach, indem man nicht den ganzen Rechengang notiert, sondern nur die Zwischenergebnisse.

MovGP0 18:04, 18. Mär. 2007 (CET)

i) Nein, das ist Unsinn. ii) Lösbarkeit gehört zum Abschnitt Lösbarkeit, nicht in Beispiele. iii) Wie Du ja inzwischen selbst sagst, sind die Rechnungen hier nicht unbedingt angebracht. iv) Auch Halbdiagonalform ist nicht gebräuchlich. Ich möchte Dich übrigens bitten, nicht alles, was Du gerade in der Vorlesung gehört hast, in die Wikipedia zu schreiben. v) Nein, das liegt daran, dass Du einfach ohne zu gucken neue Abschnitte einfügst. vi) Unterartikel mit Beispielen sind löschwürdig. vii) Ich mach mal was. --P. Birken 08:58, 19. Mär. 2007 (CET)

1. Das mit dem Vektorpfeil bitte in der Vektordiskussion diskutieren. Solange kein Konsens gefunden wird musst du es aktzeptieren, dass es keinen Konsens gibt.
2. Na gut - das lässt sich machen.
3. k
4. Es stört mich nicht, dass es nciht gebräuchlich ist solange es nicht falsch ist. Übrigens lernt man in der Vorlesung interessante Dinge, die sicher auch den einen oder anderen Wikipedia-Leser interessieren. Natürlich muss man abwägen ob es sinnvoll ist etwas einzupflegen - aber in diesem Fall bin ich mir sicher.
5. k - ist sicher Geschmackssache. Aber wie gesagt, ich bin auch damit einverstanden die Beispiele weiter oben einzupflegen.
6. neuer Vorschlag: verschieben in die Wikiversity und verlinken.
7. bin gespannt

MovGP0 18:23, 19. Mär. 2007 (CET)

Zum Rechnen ist sicher die Matrixschreibweise besser, im Artikel eher nicht.--G 23:41, 19. Mär. 2007 (CET)

warum nicht beides? MovGP0 17:54, 20. Mär. 2007 (CET)

Weil man nicht wissen muß, was eine Matrix ist um zu verstehen was ein lineares Gleichungssystem ist. Beides geht aber auch. viele grüße --Mathemaduenn 20:40, 27. Mär. 2007 (CEST)

Die gleiche Meinung wird scheinbar auch im Vermittlungsausschuss von SVL bevorzugt. Ich werde die Matrizendarstellung also wieder hineinnehmen. Gegen Verbesserungsvorschläge habe ich selbstverständlich nichts einzuwenden. — MovGP0 23:45, 12. Apr. 2007 (CEST)

Stufenform

In Koecher wird unter Stufenform etwas anderes verstanden. Bei ihm können reelle Matrizen durch eine orthogonale Trafo immer auf Stufenform gebracht werden. Dazu müssen auch 2x2-Blöcke auf der Diagonalen zugelassen werden.--TN 22:17, 26. Mär. 2007 (CEST)

Gerade fällt mir ins Auge, dass hier unter ferner liefen auch der Begriff "Staffelform" fällt. Aha, das passt doch zu der Staffelrechnung, die ich vor längerer Zeit mal ins Spiel gebracht hatte. Anscheinend bin ich doch nicht der einzige auf dieser Welt, der diesen Terminus schon mal bei Gleichungssystemen gehört hat :-). --PeterFrankfurt 17:21, 27. Mär. 2007 (CEST)

Die "Trapezform" kann ich mit dem Denecke und die "Halbdiagonalform" mit Burg-Haf-Wille und notfalls noch mit den mathematischen Analen belegen und es hat mir trotzdem nichts genützt. MovGP0 18:44, 27. Mär. 2007 (CEST)

Die „Zeilenreduzierte Form“ fehlt übrigens auch. Das ist übrigens ein Gleichungssystem der Form

${\begin{pmatrix}1&*&*&*&*\\0&1&*&*&*\\0&0&1&*&*\\0&0&0&1&*\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

— MovGP0 18:06, 15. Apr. 2007 (CEST)

Endliche Körper

Im Artikel ist teilweise vom Körper K die Rede, falls K endlich ist, gibt es auch im unterbestimmten Fall nur endlich viele Lösungen. Andim 14:00, 30. Mär. 2007 (CEST)

Vermittlungsausschuss

Da es hier viele Unstimmigkeiten und einen EditWar gibt -- bei dem sämtliche Korrekturen am Artikel revertiert werden -- und ich nicht länger zusehen möchte, wie ausgerechnet ein Mitglied des Wikimedia-Vorstands unsachlich handelt, habe ich mich an den Wikipedia:Vermittlungsausschuss gewendet um das Problem regulär zu lösen. Ich hoffe, dass dies im Sinne aller ist. — MovGP0 18:37, 30. Mär. 2007 (CEST)

von meiner Diskussionsseite:

Und wer soll vermitteln? --Mathemaduenn 19:33, 30. Mär. 2007 (CEST) Das soll mir egal sein. Aber es muss wohl jemand sein der (a) neutral ist und (b) sich gut mit Mathematik auskennt. — MovGP0 20:30, 30. Mär. 2007 (CEST) Naja dann such Dir halt einen raus. --Mathemaduenn 20:44, 30. Mär. 2007 (CEST) SVL scheint die meiste Erfahrung zu haben, allerdings ist er Versicherungsmathematiker und daher vermutlich nicht ganz auf dem mathematischen Level der benötigt würde. Vermutlich wäre es besser einen der User zu fragen, die sich mit Tensorrechnung oder Determinanten auskennen, da dies Artverwandte Artikel sind. Deshalb dachte ich ursprünglich an User:Gunther (mit dem auch ich so meine Auseinandersetzungen hatte und deshalb sicher neutral gewesen wäre), aber der ist leider inaktiv. — MovGP0 20:58, 30. Mär. 2007 (CEST)

— MovGP0 20:58, 30. Mär. 2007 (CEST)

SVL ist doch O.K. Um soviel Mathematik gehts nun auch wieder nicht. --Mathemaduenn 21:01, 30. Mär. 2007 (CEST)

Eine Nachfrage bei SVL hat ergeben, dass er nächste Wo. auf Geschäftsreise ist. Wir haben also zwei Möglichkeiten:

1. wir suchen jemand anderen
2. wir warten eine Woche

Beide Möglichkeiten finde ich aktzeptabel. — MovGP0 15:22, 31. Mär. 2007 (CEST)

Zeit ist imho genug da. Also reicht 2.--Mathemaduenn 12:26, 2. Apr. 2007 (CEST)

Eilig habe ich es auch nicht. --PeterFrankfurt 00:47, 3. Apr. 2007 (CEST)

Artikelsperre

Ich habe den Artikel jetzt erstmal vollgesperrt; und falls jemand an einer einfachen Problemlösung interessiert ist: In Matheartikeln sind Mathematiker die Experten. Wenn diese darlegen, warum bestimmte Änderungen falsch/unsachlich/undidaktisch/etc. sind, dann wird dem wohl auch so sein. Man muss darauf nicht mit einer künstlichen Debatte reagieren, sondern das einfach anerkennen. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 12:46, 13. Apr. 2007 (CEST)

Anmerkung: die anderen sind aber auch Mathematiker... — MovGP0 13:18, 13. Apr. 2007 (CEST)

Ich habe die Erfahrung gemacht, dass diese gemeinsam an Artikeln arbeiten und sich aufgrund ihrer fachlichen Ausbildung schnell auf die richtigen Versionen einigen können. Vermittlungen sind eigentlich immer nur dann nötig, wenn sich interessierte Laien an Artikeln versuchen. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 13:25, 13. Apr. 2007 (CEST)

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Nachdem der Vermittlungsausschuss zum linearen Gleichungssystem zumindest die Einbringung der Matrizen (mit Veränderungen) gebilligt hat möchte ich darum bitten den Artikel für eine erneute Überarbeitung wieder freizugeben.

Ich schlage zudem vor, dass Azrael die Veränderungen vornimmt um Vorbehalte auszuräumen.

— MovGP0 22:43, 20. Apr. 2007 (CEST)

Artikel ist frei. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 13:39, 22. Apr. 2007 (CEST)

Nachdem keine Einigung erzielt wurde, schlage ich vor, auf beide Definitionen hinzuweisen. Das ist sicherlich nicht optimal, aber hier geht es um eine reine Begriffsdefinition ohne große mathematische Konsequenzen.--G 00:00, 30. Apr. 2007 (CEST)

Es tut mir leid, aber ich lasse garantiert keine falschen Dinge in Artikeln um des lieben Friedens willen. --P. Birken 08:44, 30. Apr. 2007 (CEST)

Vielleicht würde es einfach reichen, wenn sich der Laie mit den Dingen beschäftigen würde, mit denen er sich auskennt. Lässt du dir beim Schreiben einer wissenschaftlichen Arbeit auch von Erstsemestern eines anderen Fachs reinreden? Das ist doch absurd. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 09:27, 30. Apr. 2007 (CEST)

Äh, Erstsemester? Wo? --PeterFrankfurt 00:09, 1. Mai 2007 (CEST)

Kann natürlich sein, dass MovGP0 mittlerweile Zweitsemester ist. --Scherben Fußball ist immer noch wichtig... 10:58, 1. Mai 2007 (CEST)