Quadratische Gleichung

Unter einer Quadratischen Gleichung versteht man eine mathematische Gleichung mit einer Unbekannten (im folgenden mit x bezeichnet), die nur positive ganze Exponenten hat und deren höchster Exponent 2 ist (die also aus Polynomen des Grades 2 aufgebaut ist).
Ein Beispiel ist

$-4\cdot x^{2}+12\cdot x+30=-10$

Eine übliche Darstellung (Normalform) bringt alle Terme (oder Glieder) der Gleichung auf eine Seite, ordent sie nach fallendem Exponenten, und dividiert durch den Koeffizienten des quadratischen Terms. Folgende Gleichung ist dann äquivalent zur obigen:

$x^{2}-3\cdot x-10=0$

Man spricht vom quadratischen Glied (x²), vom linearen Glied (-3·x) und vom absoluten Glied (-10).

Wurzeln der quadratischen Gleichung

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede quadratische Gleichung (mit reellen Koeffizienten) zwei Wurzeln, auch Lösungen genannt. Diese Lösungen, wenn sie für x in die Gleichung eingesetzt werden, erfüllen die Gleichung. Die Wurzeln sind im allgemeinen komplexe Zahlen, und nicht notwendigerweise reelle Zahlen. Wenn man sich auf reelle Wurzeln beschränkt, sind manche quadratischen Gleichungen somit nicht auflösbar. Außerdem gibt es auch den Fall, dass beide Wurzeln gleich sind; man spricht dann von einer doppelten Wurzel. (Eine Anmerkung am Rande: Wenn eine Wurzel eine reele Zahl ist, ist die andere Wurzel auch reell. Wenn eine Wurzel nicht-reell ist, ist die andere auch nicht reell.)

Lösungsformeln

Zum Finden von Wurzeln einer quadratischen Gleichung kann man die Quadratische Ergänzung benutzen.

Daneben ist die pq-Formel (auch kleine Lösungsformel) verbreitet. Wenn die Gleichung in Normalform als

$x^{2}+p\cdot x+q=0$

geschrieben ist, dann sind die Wurzeln durch

$x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

und

$x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

gegeben. Im obigen Beispiel

$x^{2}-3\cdot x-10=0$

sind

$x_{1}=-{\frac {3}{2}}+{\sqrt {{\frac {3^{2}}{4}}+10}}=5$

und

$x_{2}=-{\frac {3}{2}}-{\sqrt {{\frac {3^{2}}{4}}+10}}=-2$

Mit diesen Wurzeln kann man die quadratische Gleichung auch faktorisieren:

$x^{2}-3\cdot x-10=(x-5)\cdot (x+2)$

Eine allgemeine quadratische Gleichung

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0$

hat die Lösungen

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$. (Große Lösungsformel)

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (die Diskriminante D) bestimmt, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat. Wenn

• D > 0: 2 reelle Lösungen
• D = 0: 1 reelle Doppellösung
• D < 0: keine reelle Lösung

Aussagen über die Wurzeln

• Satzgruppe von Vietá
  • Das absolute Glied ist dann gleich dem Produkt ihrer beiden Wurzeln.
  • Das lineare Glied ist gleich der Summe der beiden Wurzeln mit verkehrtem Vorzeichen.
  • Sind x₁ und x₂ die Wurzeln der Gleichung, dann gilt (x-x₁)(x-x₂)=0
• Ist das absolute Glied positiv, so haben beide Wurzeln gleiches Vorzeichen, sonst verschiedenes Vorzeichen:
  • Ist das lineare Glied negativ, sind beide Wurzeln positiv;
  • ist dagegen das lineare Glied positiv, sind beide Wurzeln negativ.
• Ist das lineare Glied mit einem Minuszeichen versehen, so hat die betragsmäßig größere Wurzel ein positives Vorzeichen (und umgekehrt).
• Ist das absolute Glied größer als das Quadrat der Hälfte des linearen Gliedes, so hat die Gleichung keine reellen Wurzeln.

Beispiele

x² + 12·x + 20	=0	Beide Wurzeln sind negativ: -2 und -10
x² - 12·x + 35	=0	Beide Wurzeln sind positiv: +7 und +5
x² + 12·x + 37	=0	Es gibt keine reellen Wurzeln, weil das Quadrat der Hälfte von 12 36 ist, also kleiner als 37.
x² + 2·x - 35	=0	Die Wurzeln haben unterschiedliches Vorzeichen: -7 und +5