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Halbgruppe (Axiome EA)
berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
umfasst als Spezialfälle
Monoid (EAN)
kommutative Halbgruppe (EAK)
In der Mathematik ist eine Halbgruppe
(
M
,
⋆
)
{\displaystyle (M,\star )}
Menge
M
{\displaystyle M}
zweistelligen Verknüpfung
⋆
:
M
×
M
→
M
{\displaystyle \star :M\times M\to M}
Magma ), die dem Assoziativgesetz genügt, d.h. es gilt
∀
a
,
b
,
c
∈
M
a
⋆
(
b
⋆
c
)
=
(
a
⋆
b
)
⋆
c
{\displaystyle \forall a,b,c\in M\,\quad a\star (b\star c)=(a\star b)\star c}
Beispiele
(
N
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}
(
N
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot )}
Jede Gruppe und jedes Monoid
Sei
X
{\displaystyle X}
Banachraum . Eine einparametrige Familie
S
(
t
)
,
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle S(t),\;0\leq t<\infty }
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Halbgruppe oder Semigruppe , falls gilt
(i)
S
(
0
)
=
Id
X
{\displaystyle S(0)=\operatorname {Id} _{X}}
(ii)
S
(
t
+
s
)
=
S
(
t
)
S
(
s
)
{\displaystyle S(t+s)=S(t)S(s)}
t
,
s
≥
0
{\displaystyle t,s\geq 0}
Eine solche Halbgruppe
S
(
t
)
{\displaystyle S(t)}
gleichmäßig stetig , falls
lim
t
→
0
+
‖
S
(
t
)
−
Id
X
‖
=
0
{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|S(t)-\operatorname {Id} _{X}\|=0}
Der auf der Teilmenge
D
=
{
x
∈
X
|
lim
t
→
0
+
S
(
t
)
x
−
x
t
existiert
}
{\displaystyle D=\{x\in X\;|\;\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {S(t)x-x}{t}}\;\ {\mbox{existiert}}\}}
von
X
{\displaystyle X}
A
:
D
→
X
,
x
↦
lim
t
→
0
+
S
(
t
)
x
−
x
t
{\displaystyle A:D\to X,\ x\mapsto \lim _{t\to 0^{+}}{\frac {S(t)x-x}{t}}}
heißt infinitesimaler Generator (oder Erzeuger ) der Halbgruppe
S
(
t
)
{\displaystyle S(t)}
Siehe auch
