Keplersche Gesetze

Die drei keplerschen Gesetze (auch Kepler-Gesetze) sind nach dem Astronomen und Naturphilosophen Johannes Kepler benannt. Er war diesen fundamentalen Gesetzmäßigkeiten für die Umlaufbahnen der Planeten um die Sonne auf die Spur gekommen, als er sie in Bezug zu einer gesuchten Harmonik brachte und die Abweichungen des Mars von einer Kreisbahn mathematisch analysierte.

Sie beschreiben die Bewegung idealer Himmelskörper.

Geschichte

Kepler formulierte die Geometrie und Kinematik der Planetenbahnen in drei Gesetzen, von denen er die beiden ersten relativ rasch fand (Astronomia Nova, „Neue Astronomie“, 1609). Die Suche nach dem dritten dauerte hingegen – incl. mehrerer Irrwege über Korbbögen – ein volles Jahrzehnt, er fand es Mitte 1618 (Harmonices Mundi, „Weltharmonik“, publiziert 1619). Dabei kamen ihm Überlegungen zuhilfe, die heute als anthropisches Prinzip bezeichnet werden, und vermutlich auch die in der Musik zu findende Harmonik. Eine wichtige Grundlage für Kepler waren die Beobachtungen von Tycho Brahe bzw. seine eigenen als Tychos Assistent. Das vorzügliche Beobachtungsmaterial vom Planeten Mars war insbesondere für die beiden ersten Gesetze (Ellipsen- und Flächensatz) bedeutsam.

Ein anderes in diesem Kontext von Kepler aufgestelltes Gesetz über die Gravitation, die Anima motrix, hat sich als nicht zutreffend erwiesen. Die Keplerschen Planetengesetze wurden später von Newton in den allgemeineren Zusammenhang seines Gravitationsgesetzes gestellt.

Fundamentale Bedeutung in der Astronomie

Die Keplergesetze beschreiben die Lage und Form der Bahnkurven – die sich als genaue Ellipsen erwiesen – und die Kinematik der Planetenbewegung. Ihre grundlegenden Eigenschaften gelten auch für die Umlaufbahnen mehrerer Trabanten um einen wesentlich schwereren Zentralkörper – zum Beispiel die Bewegungen der Jupitermonde um den Planeten Jupiter, sowie annähernd für die Mondbahn und die Flugbahnen künstlicher Satelliten um die Erde.

Die Kepler-Gesetze stellen die exakte Lösung des sogenannten Zweikörperproblems dar. Sie gelten exakt für Massenpunkte und für alle Zweiersysteme kugelsymmetrischer Himmelskörper, wenn

nichtgravitative Kräfte zu vernachlässigen sind und
angenommen wird, dass sich die Gravitationswirkung unendlich schnell ausbreitet. Letzteres steht in Widerspruch zur Relativitätstheorie, der zufolge sich Gravitationskräfte nur mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Bisher gibt es dafür keine experimentelle Bestätigung.

Wenn 3 oder mehr Körper sich gegenseitig umkreisen, kommt es hingegen zu Bahnstörungen, für die jedoch Keplers Gesetze und Bahnelemente ein bis heute verwendetes Bezugsystem darstellen (siehe auch oskulierende Ellipse). Sind zahlreiche Körper gravitativ aneinander gebunden, gelten die Gesetze nur im Außenraum, weil jede umhüllende, mit Masse erfüllte Schale auf den Innenraum schwerelos bleibt. Daher weicht z. B. die Bewegung der Fixsterne um das galaktische Zentrum merklich vom 2. und 3. Keplergesetz ab.

Erstes keplersches Gesetz (Ellipsensatz)

Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.

Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz, sofern die Masse des Zentralkörpers wesentlich größer als die der Trabanten ist und die Wechselwirkung der Trabanten untereinander vernachlässigt werden kann.

Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung sind Kegelschnitte, die Keplerbahnen. Dies sind im Falle geschlossener Bahnen Ellipsen. Die geringen Abweichungen von den Keplerbahnen werden Bahnstörungen genannt. Sie kommen zustande durch die Gravitation der Planeten untereinander und durch ihre Abplattungen, durch die baryzentrische Bewegung der Sonne wegen der Anziehung der Planeten und durch relativistische Effekte: Der Mond zum Beispiel unterliegt so starken Einflüssen, dass seine Bahn auch für den freisichtigen Beobachter merklich von der Idealform abweicht. Auch beim Planeten Merkur stellten Astronomen bereits vor langer Zeit eine kleine Abweichung von der Ellipsenform fest. Eine Erklärung dazu lieferte erst die allgemeine Relativitätstheorie.

Ein Körper, der nicht gravitativ an das Sonnensystem gebunden ist, also eine zu hohe Geschwindigkeit besitzt, durchläuft es auf einer hyperbolischen Bahn und verlässt es anschließend wieder.

Zweites keplersches Gesetz (Flächensatz)

In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl Objekt – Gravizentrum gleiche Flächen.

Kepler formulierte das Gesetz nur für Planeten und die Sonne, es gilt aber für alle Himmelskörper, auch auf nicht geschlossenen Bahnen. Physikalisch gesehen ist das Zweite Keplergesetz ein Beispiel für den Drehimpulserhaltungssatz.

Die Konstanz der Flächengeschwindigkeit besagt, dass von einer gedachten Verbindungslinie zwischen Zentralkörper, genauer dem Schwerpunkt der beiden Himmelskörper, und einem Trabanten in gleichen Zeiten stets die gleiche Fläche überstrichen wird. Ein Planet bewegt sich also schneller, wenn er sich nahe an der Sonne befindet, und umso langsamer, je weiter er von der Sonne entfernt ist.

Das Zentrum der Umlaufbahn ist hierbei der gemeinsame Schwerpunkt von Zentralstern und den Trabanten. Der Schwerpunkt der Planeten und der Sonne liegt jedoch noch innerhalb der Sonne: Die Sonne steht nicht fest in Bezug auf das Sonnensystem, sondern „eiert“ ein klein wenig unter dem Einfluss der umlaufenden Planeten (Länge und Breite der Sonne). Andere Einflüsse, wie etwa die gegenseitige Anziehung (Schwerkraft) der einzelnen Planeten untereinander sind weitgehend vernachlässigbar und ergeben erst über Jahre merkliche Abweichungen.

Drittes keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten ( $T$ ) je zweier Planetenbahnen sind proportional zu den dritten Potenzen ihrer großen Halbachsen ( $a$ ). bzw. Die Quadrate der Umlaufzeiten entsprechen den Kuben der großen Halbachsen:

\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}

In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält das dritte Keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen M und m die Form:

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}\cdot a^{3}\approx {\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\cdot a^{3}

wobei die Näherung gilt, wenn Masse m vernachlässigbar klein im Vergleich zu M ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen.

Kepler verwendete für die Bahnachsen a noch die mittlere Entfernung von der Sonne (im Sinne des Mittels von Periheldistanz und Apheldistanz). Heute benutzt man geeignete Definitionen eines mittleren Objekts.

Obwohl die drei Gesetze die Planetenbewegung nur im Zweikörperproblem exakt beschreiben, sind sie generell eine gute Näherung für die Wirklichkeit. Auch für dieses Gesetz gilt das Kosmologische Prinzip, nachdem es überall im Universum gültig sei, der heliozentrische Fall unseres Sonnensystems ist aber der − für uns − weitaus bedeutendste. Es gilt aber etwa auch für Monde und Satelliten, den Asteroidengürtel und die Oortsche Wolke oder die Ringe des Jupiter und Saturn.

Berücksichtigt man die unterschiedlichen Massen zweier Himmelskörper im Rahmen des Dreikörperproblems, so lautet die exakte Formulierung des dritten keplerschen Gesetzes:

\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{2}=\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{3}{\frac {M+m_{2}}{M+m_{1}}}

Offensichtlich gewinnt die Abweichung nur dann an Bedeutung, wenn beide Objekte sich stark in ihren Massen unterscheiden und das Zentralobjekt eine Masse M hat, die von der eines der beiden Trabenten nicht sehr stark abweicht. Dennoch sind die Kepler-Gesetze, und die auf ihnen beruhenden jeweils 6 Bahnelemente, die Grundlage jeder Bahnbestimmung.

Siehe auch

Literatur

Johannes Kepler: Astronomia nova aitiologetos seu Physica coelestis. Hrsg. Max Caspar. In: Gesammelte Werke. Band 3. C. H. Beck. München, 1938.
Johannes Kepler: Harmonices Mundi libri V. Hrsg. Max Caspar. In: Gesammelte Werke. Band 6. C. H. Beck. München, 1940 / 1990. ISBN 3-406-01648-0
Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. BI-Wiss.-Verl., Mannheim 1994, ISBN 3-411-17051-4

Weblinks

Walter Fendt: 1. Keplersches Gesetz, 2. Keplersches Gesetz (Java-Applets)
Weltbilder – Kepler Gesetze. In: LEIFI. Didaktik der Physik. Uni München − Informationen, Animationen, Versuche und Aufgaben (Java-Applets)