Dreiecksungleichung

In der Mathematik ist die Dreiecksungleichung ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. In leicht veränderter Form spielt sie in vielen anderen Teilgebieten wie z.B. der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle und zählt zu den wichtigsten mathematischen Theoremen. Auf einer 1999 veröffentlichten Liste der 100 wichtigsten mathematischen Sätze ist sie auf Platz 91 gereiht.

Formen der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung für Dreiecke

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets größer als die Länge der dritten Seite c. Das heißt formal:

$c<a+b$

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets kleiner dem Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: "Der direkte Weg ist immer der kürzeste." (Was die Aussage im Grunde jedoch nicht korrekt wiedergibt. Korrekt müsste es lauten: "Es gibt keinen kürzeren Weg als den direkten.")

Wenn $a+b=c$ ist dann spannen die Strecken kein Dreieck auf sondern sind Elemente von einander.

Da aus Symmetriegründen auch $a<c+b$ gilt, folgt $a-b<c$, analog erhält man $b-a<c$, insgesamt also

$\left|a-b\right|<c<a+b$.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom der abstrakten Abstandsfunktion in metrischen Räumen verwendet.

Dreiecksungleichung für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen gilt:   ${\Big |}|a|-|b|{\Big |}\leq \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|$.

Beweis

Weil alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung:

$a^{2}-2\left|ab\right|+b^{2}\leq a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+2\left|ab\right|+b^{2}$.

Das ist äquivalent zur Ungleichung

$-2\left|ab\right|\leq 2ab\leq 2\left|ab\right|$,

welche gilt, weil $-|x|\leq x\leq |x|$ für alle reellen $x$.

Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gilt:

${\Big |}\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|{\Big |}\leq \left|z_{1}+z_{2}\right|\leq \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$.

Beweis

Da alle Seiten positiv sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

$z_{1}{\bar {z_{1}}}-2\left|z_{1}z_{2}\right|+z_{2}{\bar {z_{2}}}\leq z_{1}{\bar {z_{1}}}+z_{1}{\bar {z_{2}}}+{\bar {z_{1}}}z_{2}+z_{2}{\bar {z_{2}}}\leq z_{1}{\bar {z_{1}}}+2\left|z_{1}z_{2}\right|+z_{2}{\bar {z_{2}}}$

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Setzt man $z:=z_{1}{\bar {z_{2}}}$, so bleibt also zu zeigen

$-2\left|z\right|\leq z+{\bar {z}}\leq 2\left|z\right|$.

Mit $z=u+iv$ erhält man

$-2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\leq (u+iv)+(u-iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$

bzw.

$|u|\leq {\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$,

was wegen $0\leq v^{2}$ immer erfüllt ist.

Dreiecksungleichung für Summen und Integrale

Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$

für reelle oder komplexe Zahlen $x_{i}\;$. Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:

Ist $f:I\to {\mathbb {R}}$, wobei $I=[a,b]\,$ ein Intervall ist, Riemann-integrierbar, dann gilt

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|\leq \int _{I}|f(x)|\,dx$.

Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen $f:I\to {\mathbb {C}}$, vgl.. Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl $\alpha \;$ so, dass $\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\left|\int _{I}f\,dx\right|$ und $|\alpha |=1\;$.

Da

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\int _{I}\alpha \,f(x)\,dx=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx+i\,\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx$

reell ist, muss $\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx$ gleich Null sein. Außerdem gilt

$\operatorname {Re} (\alpha f(x))\leq |\alpha f(x)|=|f(x)|$,

insgesamt also

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx\leq \int _{I}|f(x)|\,dx$.

Dreiecksungleichung für Vektoren

Für Vektoren gilt:

${\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$.

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

$\left|{\vec {a}}\right|^{2}-2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}$

und Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

$\left|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$.

Auch hier gilt

$\left|\sum _{i=1}^{n}{\vec {a_{i}}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|{\vec {a_{i}}}\right|.$

Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke

• Im sphärischen Dreieck gilt für die drei Seitenlängen:

$\left|a-b\right|\leq c\leq a+b$.

Dreiecksungleichung für normierte Räume

In einem normierten Raum $\left(X,\|.\|\right)$wird die Dreiecksungleichung in der Form

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle $x,y\in X\;$erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier

$\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|$ fur alle $x_{i}\in X\;$.

Im Spezialfall der L^p-Räume wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Dreiecksungleichung für metrische Räume

In einem metrischen Raum $\left(X,d\right)$ wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ für alle $x,y,z\in X$ erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch $\left|d(x,z)-d(z,y)\right|\leq d(x,y)$ für alle $x,y,z\in X$ gilt. Außerdem gilt für beliebige $x_{i}\in X\;$ die Ungleichung $d(x_{0},x_{n})\leq \sum _{i=1}^{n}d(x_{i-1},x_{i})$.

Siehe auch

• Betrag
• Normierter Raum
• Ungleichungen in Vierecken