Energieerhaltungssatz

Der Energieerhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze in der klassischen Physik (und gilt genauso in der Quantenmechanik und der (speziellen) relativistischen Physik). Der Energieerhaltungssatz sagt aus, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen konservativen Systems nicht verändert werden kann. Durch Prozesse, die ausschließlich innerhalb des betrachteten Systems stattfinden, kann Energie zwischen Energieformen umgewandelt werden, beispielsweise von Bewegungsenergie in Wärme. Es ist jedoch nicht möglich, innerhalb eines abgeschlossenen Systems Energie zu erzeugen oder zu vernichten. Die Energie ist damit eine Erhaltungsgröße.

Die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System bleibt konstant.

Unter einem abgeschlossenen System versteht man ein System ohne Energie-, Informations- oder Stoffaustausch und ohne Wechselwirkung mit der Umgebung, dies ist auch der Grund für die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes.

Umgangssprachliche Aspekte

Oftmals wird irrtümlich die Umwandlung von Energieformen mit dem Verlust von Energie identifiziert. Man spricht in diesem Zusammenhang beispielsweise von Energieverbrauch, Energieverschwendung, Energiesparen und Energieverlust. Meist meint man damit den Verlust von technisch leicht nutzbaren Energieformen und damit Phänomene und Probleme, die durch die Entropie bedingt sind. Jene Energiebegriffe sind im physikalischen Sinn aber nicht richtig, da beispielsweise ein Kraftfahrzeug keine Energie verbraucht beziehungsweise vernichtet, sondern lediglich chemische Energie in kinetische Energie und thermische Energie umwandelt. Energie kann nicht aus dem Nichts entstehen und auch nicht in dieses verschwinden. Verschiedene Energieformen, also beispielsweise kinetische Energie, thermische Energie, Strahlungsenergie, Bindungsenergie usw. wandeln sich lediglich ineinander um, sind anschließend allerdings technisch meist deutlich schwieriger weiterzunutzen (siehe hierzu auch Wirkungsgrad).

Geschichte

Einige nicht-formalistische theoretische Ansätze zur Unvernichtbarkeit oder Konstanz der Energie, Materie bzw. des gesamten Kosmos existierten schon sehr früh in philosophischen und theologischen Systemen des Altertums (siehe z. B. Heraklits Grundsatz Panta rhei oder fernöstliche Religionen) und wahrscheinlich auch in Vorstellungen vorhistorischer Bauernkulturen (bedingt durch die Ewige Wiederkehr [Friedrich Nietzsche] der natürlichen Zyklen).

Als erster hat der aus Heilbronn stammende Arzt Julius Robert von Mayer (1814-1878) den Energieerhaltungssatz formuliert. Er hat 1842 durch Versuche den Wert des mechanischen Wärmeäquivalents festgestellt und so nachgewiesen, dass sich Bewegungsenergie vollständig in Wärme umwandeln lässt. Endgültig ausformuliert wurde der Energieerhaltungssatz 1847 von dem aus Potsdam stammenden Physiker Hermann von Helmholtz.

Energieerhaltungssatz in der Newton'schen Mechanik

In einem konservativen Kraftfeld ist die Gesamtenergie H = E = T + V eines Systems stets erhalten. Bewegt sich ein Körper durch ein solches Kraftfeld, so ist es unerheblich auf welchem Weg er zu einem bestimmten Punkt in diesem Feld gelangt und die Gesamtenergie bleibt über beide Wege hinweg dieselbe. In der Newton'schen Mechanik führt dies zu der Gleichung

$T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2}$,

was bedeutet, dass die Energie über den ersten Weg gleich der Energie über einen zweiten Weg ist.

Hierbei bezeichnet T die kinetische Energie, V die potentielle Energie und E die Gesamtenergie des Systems. H repräsentiert die Hamiltonfunktion, welche im Hamiltonformalismus ebenfalls die Gesamtenergie darstellt.

Physikalische Betrachtung

Datei:Konservativekaft wege.png

Zwei beliebige Wege in einem konservativen Kraftfeld

In der klassischen Mechanik gilt für die kinetische Energie

$T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}$,

wobei v die Geschwindigkeit ist.

Mit dem zweiten Newtonschen Axiom

$\mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}$

für konstante Massen m kann die Energie geschrieben werden als

$E=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} [\mathbf {r} (t),\mathbf {v} (t),t]\,\mathbf {v} (t)\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\dot {\mathbf {v} }}(t)\,\mathbf {v} (t)\,\mathrm {d} t$.

Dann gilt für den Weg von Punkt 1 zum Punkt 2 das Wegintegral

$\int _{1,S1}^{2}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \mathbf {r} =m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\mathbf {v} }}(t)\mathbf {v} (t)\,\mathrm {d} t$.

Für die rechte Seite dieser Gleichung gilt

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}(t)\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}(t_{2})-{\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}(t_{1})=T(t_{2})-T(t_{1})=T_{2}-T_{1}$.

Das bedeutet, dass die gesamte Arbeit, die bei der Bewegung aufgebracht wird, der Änderung der kinetischen Energie entspricht. Für die linke Seite gilt hingegen unter Verwendung der Eigenschaften konservativer Kräfte

$\int _{1,S1}^{2}\mathbf {F} \,\mathrm {d} \mathbf {r} =-\int _{1,S1}^{2}\nabla V\,\mathrm {d} \mathbf {r} =V(r_{1})-V(r_{2})=V_{1}-V_{2}$

und damit

$T_{2}-T_{1}=V_{1}-V_{2}$

bzw.

$T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2}$

was gerade dem Energieerhaltungssatz entspricht. Die Eigenschaft der Energieerhaltung ist auch der Grund, weshalb konservative Kraftfelder ihren Namen erhielten - die Energie ist konserviert. Der Begriff der Konservativität wird ebenfalls in einem erweiterten Zusammenhang verwendet, wenn nicht die Energie, sondern eine andere physikalische Größe, wie beispielsweise die Masse, erhalten bleibt (konservativer Massenübertrag).

Erläuterungen

Die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, einschließlich der Rotationsenergie, ist konstant und entspricht der Gesamtenergie des mechanischen Systems.

Dieser idealisierte Spezialfall ist auch heute sehr gebräuchlich, da man mit seiner Hilfe nicht nur das Konzept des Energieerhaltungssatzes anschaulich darlegen kann, sondern auch reale Bewegungen hierdurch auf eine sehr einfache Art und Weise mit guter Näherung beschreibbar sind.

Ein alltägliches Beispiel ist die Position eines Objekts im Gravitationsfeld der Erde, beispielsweise bei einem idealen Pendel (Perpetuum Mobile dritter Art). Dieses ist so definiert, dass keinerlei Störung durch Reibung oder sonstige Einflüsse besteht und es daher eine ungedämpfte Schwingung mit konstanter Auslenkung ausführt. Im Ruhezustand, also bei einem Faden der senkrecht zum Boden weist, ist die potenzielle und die kinetische Energie des Pendels gleich Null. Lenkt man das Pendel nun aus, so schwingt es zwischen zwei Wendepunkten und erreicht seine höchste Geschwindigkeit am Punkt der ehemaligen Ruhelage, weshalb dieser auch das Maximum der kinetischen Energie darstellt. An den Wendepunkten ist die kinetische Energie hierbei wiederum gleich Null und die potenzielle Energie maximal. Völlig unabhängig von der Position des Pendels gilt jedoch, dass die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie hierbei immer konstant bleibt.

Energieerhaltungssatz: Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur von einer Energieform in eine andere umgewandelt werden. In einem geschlossenen System gilt daher der Energieerhaltungssatz, der einer der am genauesten experimentell gesicherten Sätze der Physik ist. Man bezeichnet Energie als Erhaltungsgröße. Die Energieerhaltung ist über das Noether-Theorem eine Folge der Unabhängigkeit der physikalischen Gesetze von der Zeit.

In offenen Systemen hat die Energie die Neigung, den zur Verfügung stehenden Raum gleichmäßig auszufüllen. Die dabei auftretenden und zu beobachtenden physikalischen Gesetzmäßigkeiten führen zur Entropie, einer thermodynamischen Zustandsgröße mit dem gleichen Stellenwert wie die Energie.

Durch eine am System verrichtete Arbeit wird die Energie des Systems erhöht. Verrichtet das System selbst Arbeit, so wird seine Energie geringer. Die Arbeit verursacht hier also eine Zustandsänderung in Form einer Temperatur-, Form-, Lage- oder Geschwindigkeitsänderung.

Der Begriff Energienutzung bezieht sich auf die Umwandlung von einer Energieform in eine andere Energieform (→ Arbeit). Es ist nicht möglich, die Energieformen beliebig ineinander umzuwandeln. Insbesondere ist es unmöglich, dass ein System seine Wärmeenergie komplett als Arbeit abgibt.

Beispiele für die Energieumwandlung sind die Erzeugung von Licht und Wärme aus elektrischer Energie über einen elektrischen Widerstand (elektr. Heizung, Glühlampe) und die Umwandlung der elektrischen Energie mit Hilfe des Elektromagnetismus über magnetische Felder in kinetische Energie (Elektromotor).

Chemische Energie eines Brennstoffs wird bei der Verbrennung in Wärmeenergie umgewandelt oder in Verbrennungsmotoren (als Kraftstoff) in kinetische Energie umgewandelt. Abhängig vom Wirkungsgrad der Motoren wird ein relativ großer Anteil der verbrauchten Energie direkt in Abwärme umgewandelt.

Kinetische Energie wird bei der Bewegung entgegen dem Schwerefeld der Erde, also bergauf, in potentielle Energie oder über Reibung in Wärmeenergie oder akustische Energie umgewandelt.

In Elektrizitätswerken wird elektrischer Strom erzeugt. Entweder wird dabei vorhandene potentielle Energie (Speicherkraftwerk) oder kinetische Energie (Laufkraftwerk, Windenergieanlage) über Generatoren in elektrische Energie umgewandelt oder es wird der Umweg über eine Wärmekraftmaschine gewählt, um aus Wärme Energie zu gewinnen. Beispiele dafür sind Wärmekraftwerke, die mit Kohle, Öl, Gas, Biomasse, Kernkraft oder auch Müll betrieben werden.

Strahlungsenergie, auch in Form von akustischer Energie, wird beim Auftreffen auf eine absorbierende Fläche meistens in Wärmeenergie verwandelt

Energieerhaltungssatz in der Thermodynamik

Jedes thermodynamische System verfügt über einen bestimmten „Vorrat“ an Energie. Dieser setzt sich aus einem äußeren Anteil E_a und einen inneren Anteil E_i (innere Energie) zusammen. Die Summe aus beiden Anteilen ergibt die Gesamtenergie eines thermodynamischen Systems, wobei man in der chemischen Thermodynamik die Änderung des äußeren Anteils gleich Null setzt (dE_a=0). Unter dieser Voraussetzung gelangt man zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik:

„Die innere Energie ist eine Eigenschaft der stofflichen Bestandteile eines Systems und kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. Die innere Energie ist eine Zustandsgröße.“

Für abgeschlossene Systeme gilt daher, dass die innere Energie konstant und demzufolge ihre Änderung gleich Null ist. Für geschlossene Systeme lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik:

$\qquad \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W$

• U - innere Energie
• Q - Wärme
• W - Arbeit

Energieerhaltungssatz in der Relativitätstheorie

Nach der speziellen Relativitätstheorie beträgt die Energie E eines freien Teilchens der Ruhemasse m bei der Geschwindigkeit v

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Sie lässt sich in einen Anteil, der über die Äquivalenz von Masse und Energie der Masse entspricht und die kinetische Energie zerlegen, wobei

$E=mc^{2}+T$

Eine Entwicklung der Ausgangsgleichung nach Taylor ergibt dabei für den Grenzfall v<<c übrigens

$E\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

und damit die vertraute Formel der Newtonschen Physik für die kinetische Energie. Für den Energieerhaltungssatz in der speziellen Relativitätstheorie ist daher der Masseterm mc² hinzuzufügen und die Formel für die kinetische Energie zu modifizieren. Bei bestimmten Prozessen wie bei der Kernspaltung und der Kernfusion sowie in der Elementarteilchenphysik ist die Gesamtmasse der beteiligten Teilchen im Ruhezustand keine Erhaltungsgröße sondern nur die relativistische Gesamtenergie.

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie besitzt auch Gravitation Energie. Diese lässt sich allerdings nicht bezugssystemunabhängig festlegen. Dennoch lässt sich auch hier ein Energieerhaltungssatz formulieren.

Energieaustausch

Ein System kann Energie mit anderen Systemen austauschen, beispielsweise durch Strahlung oder Wärmeleitung. Man spricht dann von einem geschlossenem System und im Falle einer Stoffübertragung sogar von einem offenen System. Der Energieerhaltungssatz gilt auch hier, jedoch in abgewandelter Form.

Will man offene oder geschlossene Systeme betrachten, so stellt der Energieerhaltungssatz eine wichtige Hilfestellung dar, denn es muss die Kontinuitätsgleichung gelten. Sprich: „Die Energie, die in ein geschlossenes System hineinfließt minus der Energie, die es verlässt, muss gleich der Energieänderung des Systems sein.“ Da sich Systeme auf diese Weise vom Prinzip her immer bilanzieren lassen (Energiebilanz), kann man, ausgehend von der Analyse der Energieströme des Systems, auf die Prozesse innerhalb des Systems schließen, auch wenn dieses selbst unzugänglich ist oder sich einer Betrachtung entzieht.

Noether-Theorem

Im Rahmen der Lagrangeschen klassischen Mechanik ist die Energieerhaltung eine direkte Folge der Homogenität der Zeit, das heißt der Unabhängigkeit der physikalischen Gesetze von der Zeit. Dies ist ein Spezialfall des Noether-Theorems, das aussagt, dass es zu jeder Invarianz eine Erhaltungsgröße gibt. Innerhalb des Lagrangeschen Formalismus handelt es sich bei der Energieerhaltung somit nicht um ein Axiom, sondern um einen Satz.

Quantenmechanische Betrachtung

Das grundlegende Postulat der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung, kann als Energieerhaltungssatz interpretiert werden.

Elektrodynamik

Der Satz von Poynting beschreibt die Energieerhaltung in der Elektrodynamik.

Siehe auch

• Konservative Kraft
• Entropie
• Wirkungsgrad

Video

Alpha Centauri: Was ist Entropie?