Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Sei eine unendliche Reihe

$S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben.

Falls nun

$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1,$

so konvergiert die Reihe S. Ist jedoch

$\{n\in N:{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1\}$

eine unendliche Menge, so divergiert die Reihe. In allen anderen Fällen lässt sich nichts über die Konvergenz der Folge aussagen. Dieses Kriterium folgt mit dem Majorantenkriterium aus Eigenschaften der geometrischen Reihe.

Die Konvergenzbedingung mit dem limsup lässt sich auch so formulieren:

Falls eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, so dass

${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq C$

für alle n ≥ N, dann konvergiert die Reihe S.