Unendliche Reihe

In der Mathematik ist eine unendliche Reihe die Summe von unendlich vielen Ausdrücken. Eine solche Summe kann einen endlichen Wert haben, man sagt sie konvergiert, oder nicht, dann divergiert sie. Dass unendliche Reihen konvergieren können, löste einige der Paradoxa von Zenon.

Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots$

Man kann ihre Konvergenz auf der Zahlengeraden visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit der Länge zwei vor, auf der aufeinanderfolgene Abschnitte mit den Längen 1, 1/2, 1/4, usw. markiert sind. Es gibt auf dieser Linie immer noch Platz für einen weiteren Abschnitt, da immer noch so viel Platz ist, wie der letzte Abschnitt lang war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben, haben wir insgsamt 3/2 verbraucht, es bleiben also noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 wegstreichen, bleibt ein weiters 1/4 übrig, etc. Dieses Argument beweist zwar nicht, dass die Summe gleich 2 ist, aber dass sie höchstens 2 ist. Die Reihe hat also eine Obergrenze.

Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}=2.$

geschrieben.

Konvergenz

Eine gegebene unendliche Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$

mit reellen (oder komplexen) Zahlen a_n konvergiert nach S, wenn der Grenzwert

$\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}$

existiert und S ist. Man sagt auch, dass der Wert der Reihe S ist. Anderenfalls heißt sie divergent.

Konvergenzkriterien

1. Wenn die Reihe ∑ a_n konvergiert, dann konvergiert die Folge <a_n> nach 0 für n→∞; die Umkehrung ist nicht allgmeingültig.
2. Wann alle Glieder a_n positiv sind, ∑ b_n eine konvergente Reihe ist und für alle n gilt a_n ≤ b_n, dann konvergiert auch ∑ a_n. Umgekehrt, wann alle b_n positiv sind, für alle n gilt a_n ≥ b_n und ∑ b_n divergiert, dann divergiert auch ∑ a_n.
3. Wenn alle a_n positiv sind und eine Konstante C < 1 existiert, sodass für alle n gilt a_n+1/a_n ≤ C, dann konvergiert ∑ a_n.
4. Wenn alle a_n positiv sind und eine Konstante C < 1 existiert, sodass für alle n gilt (a_n)^1/n ≤ C, dann konvergiert ∑ a_n.
5. Ist f(x) eine positive, monoton fallende Funktion, die im Intervall [1,∞) definiert ist, mit f(n) = a_n für alle n, dann konvergiert ∑ a_n genau dann, wenn das Integral ∫₁^∞ f(x) dx existiert.
6. Eine Folge der Form ∑ (-1)ⁿ a_n (mit a_n ≥ 0) wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge a_n monoton fällt und gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.

Beispiele

Eine geometrische Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$

konvergiert genau dann, wenn |z| < 1.

Die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}$

konvergiert, wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1, was mit dem 5. der obigen Kriterien gezeigt werden kann. Als Funktion von r aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion.

Die Teleskopreihe

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

konvergiert, wenn die Folge b_n für n gegen unendlich nach L konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann b₁ - L.

Potenzreihen

Einige wichtige Funktionen können als Taylor-Reihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.