Klasse (Mengenlehre)
Mit Klasse wird in der Mathematik, und insbesondere im Bereich der Mengenlehre, eine Zusammenfassung von Mengen oder anderen mathematischen Objekten bezeichnet. Notwendige Bedingung zur Definition der Klasse ist eine eindeutige Eigenschaft, die alle Elemente der Klasse besitzen. Manche Klassen sind Mengen, zum Beispiel die Klasse aller geraden ganzen Zahlen, andere Klassen sind keine Mengen, zum Beispiel die Klasse aller Ordinalzahlen oder die Klasse aller Mengen. Letztere Klassen, die keine Mengen sind, heißen echte Klassen oder Unmengen.
Eine echte Klasse kann nicht Element einer Menge oder Klasse sein und unterliegt nicht den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Auf diese Weise werden eine Reihe von Paradoxa der naiven Mengenlehre vermieden. Stattdessen ist jedes ehemalige Paradoxon ein Beweis, dass eine bestimmte Klasse echt ist. Zum Beispiel ist die Russellsche Antinomie ein Beweis, dass die Klasse aller Mengen eine echte Klasse ist, und das Burali-Forti-Paradoxon ist ein Beweis für die Echtheit der Klasse aller Ordinalzahlen.
Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre spricht nicht über Klassen. Diese existieren nur in einer Metasprache als Äquivalenzklassen logischer Formeln. Eine andere Herangehensweise ist die von von Neumann, Bernays und Gödel: Klassen sind die Grundobjekte ihrer Theorie, und Mengen sind Klassen, die als Element einer anderen Klasse auftreten. Die echten Klassen sind dann die Klassen, die nicht Element einer anderen Klasse sind.
Einige Strukturen der Mathematik sind zu groß für Mengen und müssen als echte Klasse beschrieben werden. Neben der Klasse der Ordinalzahlen sind bestimmte Kategorien echte Klassen, und auch die surrealen Zahlen bilden eine echte Klasse, die alle Eigenschaften eines Körpers hat (außer der Eigenschaft, eine Menge zu sein).
Vor der axiomatischen Formulierung der Mengenlehre wurden die Begriffe Klasse und Menge inkonsistent benutzt, und treten auch so in der mathematischen Literatur des 19. Jahrhunderts auf.
Als "Klasse" bezeichnet man üblicherweise auch bestimmte Arten von Mengen, z.B. "Äquivalenzklassen", "Nebenklassen".