Knotentheorie

Knotentheorie ist eine Forschungsgebiet der Topologie. Sie beschäftigt sich unter anderem damit, die topologischen Eigenschaften von Knoten zu untersuchen. Eine Fragestellung ist etwa, ob zwei gegebene Knoten äquivalent sind, also ob sie einander übergeführt werden können, ohne dass dabei die Schnüre "zerschnitten" werden.

Mathematische Definition

Im Mathematischen Sinn ist ein Knoten eine Einbettung eines Kreisrandes (bzw einer Jordan-Kurve) in den dreidimensionalen Raum. In der Knotentheorie wird ein Knoten durch seine Projektion auf eine Ebene dargestellt. Es entsteht eine geschlossene Kurve, die endlich viele Überkreuzungen hat. Dabei ist wichtig bei den Kreuzugen mitanzugeben, welche Seite der Kurve oben bzw. unten liegt.

Methoden

Eine Ziel der Knotentheorie ist es, Knoten-Invarianten zu finden, also mathematische Objekte, die sich nicht ändern wenn man den Knoten im dreidimensionalen Raum stetig deformiert. Einige Beispiele von Knoteninvarianten sind Polynome, z.B. das Jones-Polynom, HOMFLY-Polynom.

Diese Polynome kann man algorithmisch berechnen, in dem man für alle Kreuzungen geeignete Terme zu einem Gesamtpolynom addiert. Von den beiden zitierten Polynomen ist das HOMFLY-Polynom das mächtiger, das heißt es erkennt mehr nicht zueinander äquivalente Knoten, als das Jones-Polynom. Das bedeutet aber auch dass zwei Knoten das gleiche Polynom haben können, obwohl sie nicht äquivalent sind. Bis heute ist noch keine Knoten-Invariante gefunden worden, die alle äquivalente Knoten genau erkennt, also die die Eigenschaft hat, dass die Invariante für zwei Knoten identisch ist genau dann wenn die zwei Knoten äquivalent sind. Dies ist ein wichtiges Ziel der aktuellen Forschung.

Reidemeister Bewegungen

Ein wesentlicher Grundstein der Theorie ist 1927 von Kurt Reidemeister gelegt worden. Er hat gezeigt dass zwei Knoten äquivalent sind, genau dann wenn sie durch eine endliche Folge von drei so genannte Reidemeister Bewegungen ineinander übergeführt werden können. Diese drei Bewegungen sind (siehe Englische Version).

1 Verdrillung und Entdrillung
2 Eine Schlinge über eine andere zu ziehen
3 Einen Teil einer Seite über oder unter eine Kreuzung zu verschieben

Um eine Invariante zu finden braucht man also nur diese drei Bewegungen zu betrachten.

Anwendungen

Obwohl die Beschäftigung mit Knoten eher nach brotloser Kunst aussieht, hat die Knotentheorie eine Reihe wichtiger Anwendung, etwa in der Biotechnologie, um zu überprüfen, ob komplizierte Faltungen von Proteinen mit einem anderen Protein übereinstimmen. Ähnliches gilt für die DNA in der Gentechnologie. Eine wichtige Stellung nimmt die Knotentheorie in der modernen theoretischen Physik ein, wo es etwa um Pfade in Feynmandiagrammen geht.