Noether-Theorem

Das Noether-Theorem sagt aus, dass zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems eine Erhaltungsgröße existiert und umgekehrt. Es wurde 1915 von Emmy Noether bewiesen.

Symmetrie bedeutet dabei, dass sich das Verhalten eines physikalischen Systems bei Anwendung einer bestimmten Tranformation (z.B. Koordinatentransformation oder Eichtransformation) nicht verändert.

Eine Erhaltungsgröße des Systems ist eine Größe die sich als Funktion der Zeit, genauer gesagt durch die Dynamik des Systems, nicht ändert.

Beispiele

• aus der Homogenität der Zeit (Zeitursprung spielt keine Rolle) folgt in der klassischen Physik die Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz).
• aus der Translations-Invarianz des Raums (Ortsursprung spielt keine Rolle) ergibt sich die Erhaltung des Impulses (Impulserhaltungssatz).
• aus der Rotations-Invarianz des Raums (Richtung spielt keine Rolle) ergibt sich die Erhaltung des Drehimpulses (Drehimpulserhaltungssatz).

Das Noether-Theorem ist heute ein Teil des sehr wichtigen Gebiets der Symmetrien.

Umgekehrt beruht jede Erhaltungsgröße auf einer Symmetrie oder auf Topologie (z.B. die Anzahl von Knoten in einem unendlichen Seil).

Mathematische Formulierung

Wir beschränken uns hier auf Symmetrien in der klassischen Mechanik. Für den feldtheoretischen Beweis verweisen wir auf die englische Version.

Definition: Symmetrie

Sei ${\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {v} ,t)$ die Lagrangefunktion eines mechanischen Systems auf dem Raum ${\mathcal {Q}}$. Dann heißt eine Abbildung

${\begin{matrix}\Phi :\mathbb {R} \times {\mathcal {Q}}&\to &{\mathcal {Q}}\\(s,\mathbf {q} )&\to &\Phi _{s}(\mathbf {q} ),\end{matrix}}$

die zweifach stetig differenzierbar in q und stetig differenzierbar in s ist einparametrige Schar von Symmetrien, wenn das Wirkungsintegral für jedes feste s unter dieser Abbildung invariant ist:

$S[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t\right)dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}\left(\Phi _{s}(\mathbf {q} (t)),{\frac {d}{dt}}\Phi _{s}(\mathbf {q} (t)),t\right)dt,$

und zwar für beliebige Kurven $\mathbf {q} (t)$ in ${\mathcal {Q}}$.

Folgerung

Die Wirkung in der obigen Form ist genau dann invariant, wenn eine Schar von Funktionen $M(\mathbf {q} ,t,s)$ gibt, so dass

${\mathcal {L}}\left(\Phi _{s}(\mathbf {q} (t)),{\frac {d}{dt}}\Phi _{s}(\mathbf {q} (t)),t\right)={\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t\right)+{\frac {d}{dt}}M(\mathbf {q} (t),t,s)$

gilt, d.h. wenn die Lagrangefunktion sich durch die Transformation nur um eine totale Zeitableitung ändert. Dann gilt aber:

${\frac {d}{ds}}{\mathcal {L}}\left(\Phi _{s}(\mathbf {q} (t)),{\frac {d}{dt}}\Phi _{s}(\mathbf {q} (t)),t\right)|_{s=0}={\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}M(\mathbf {q} (t),t,s)|_{s=0}.$

Führen wir nun die Ableitung nach s aus, so erhalten wir:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} (t))+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v_{i}}}{\frac {d}{dt}}{\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} (t))={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{ds}}M(\mathbf {q} (t),t,s)|_{s=0}.$

Wir nennen nun ${\frac {d}{ds}}M(\mathbf {q} (t),t,s)|_{s=0}=:K(\mathbf {q} ,t).$ und formen den zweiten Summanden auf der linken Seite mit der Prduktregel um:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} (t))+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v_{i}}}{\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} (t))\right)-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v_{i}}}\right){\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} (t))={\frac {d}{dt}}K(\mathbf {q} (t),t).$

Benutzt man nun die Euler-Lagrange-Gleichungen stellt man fest, dass der erste und der dritte Summand auf der linke Seite identisch sind. Daher gilt:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v_{i}}}{\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} (t))-K(\mathbf {q} (t),t)\right)=0,$

eine Gleichung, die bereits die Form eines Erhaltungssatzes hat. Verschönert man die Gleichugn noch, indem man das Vektorfeld ${\frac {d}{ds}}\Phi _{s}^{i}(\mathbf {q} ):=Z^{i}(\mathbf {q} )$ nennt, erhält man

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v_{i}}}Z^{i}(\mathbf {q} )-K(\mathbf {q} ,t)\right)=0,$

und wir sehen, dass die Größe $I(\mathbf {q} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v_{i}}}Z^{i}(\mathbf {q} )-K(\mathbf {q} ,t)$ eine Erhaltungsgröße ist.