Strahlensatz

Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten, zweiten und dritten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit Streckenverhältnissen und ermöglicht es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen.

Formulierung der Strahlensätze

Wenn zwei durch einen Punkt (Scheitel) verlaufende Geraden (Strahlen) von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, die nicht durch den Scheitel gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

1. Je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
2. Die ausgeschnittenen Strecken auf den Parallelen verhalten sich wie die vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf den Strahlen.
3. Je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, stehen in gleichem Verhältnis zueinander. Dieser Strahlensatz setzt im Gegensatz zu den ersten beiden Strahlensätzen mindestens drei Strahlen voraus. Er ist hier nicht skizziert.

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten, der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten und der dritte auf die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.

Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer "V-Figur" (linke Skizze), im zweiten von einer "X-Figur" (rechte Skizze).

Bemerkung (Umkehrung des Strahlensatzes): Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.

Verwandte geometrische Konzepte

Der Strahlensatz steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der geometrischen Ähnlichkeit. Die Dreiecke ZAB und ZA'B' sind in beiden Skizzen zueinander ähnlich. Dies bedeutet insbesondere, dass entsprechende Seitenverhältnisse in diesen Dreiecken übereinstimmen - eine Aussage, aus der sich unmittelbar der Strahlensatz ergibt.

Siehe auch: Ähnlichkeitssätze

Ein weiteres Konzept, das mit dem Strahlensatz zusammenhängt, ist das der zentrischen Streckung (einer speziellen geometrischen Abbildung). In der linken Skizze bildet beispielsweise die zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) 1,5 die Punkte A und B auf die Punkte A' bzw. B' ab. Entsprechendes gilt für die rechte Skizze; hier ist der Streckungsfaktor gleich -0,5.

Eine ähnlich enge Beziehung besteht zur Vektorrechnung. Die Rechenregel

$\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}$

für zwei Vektoren ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ und einem reellen Skalar $\lambda$ ist nur eine andere Ausdrucksweise für den Strahlensatz.

Einfaches Anwendungsbeispiel

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser soll mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt haben.

Diese Berechnung könnte - abgesehen von der Längeneinheit und der Schreibweise - etwa folgendermaßen ausgesehen haben:

Höhe des Stabes: ${\overline {AB}}=1{,}63\,{\rm {m}}$

Schattenlänge des Stabes: ${\overline {ZA}}=2{,}00\,{\rm {m}}$

Abstand des Stabes von der Pyramide: ${\overline {AC}}=63\,{\rm {m}}$

Seitenlänge der Pyramide: ${\overline {CD}}=230\,{\rm {m}}$

${\overline {A'B'}}:{\overline {AB}}={\overline {ZA'}}:{\overline {ZA}}$

${\overline {A'B'}}={\frac {{\overline {AB}}\cdot {\overline {ZA'}}}{\overline {ZA}}}={\frac {1{,}63\,{\rm {m\cdot (2{,}00\,m+63\,m+230\,m:2)}}}{2{,}00\,{\rm {m}}}}={\frac {1{,}63\,{\rm {m\cdot 180\,m}}}{2{,}00\,{\rm {m}}}}={\underline {146,7\,{\rm {m}}}}$

Beweis

Satz 1

Datei:Strahlensatz beweis 1.jpg

Wegen gleichlanger Höhen ($CA\parallel BD$ )gilt $|\triangle CDA|=|\triangle CBA|$ und damit auch $|\triangle SCB|=|\triangle SDA|$. Somit gilt dann aber auch:

${\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}$ und ${\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}$

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken (${\frac {g\cdot h}{2}}$) liefert dann

${\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}$ und :${\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}$

Jetzt kürzt man die gemeinsamen Faktoren: (a) ${\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}$ and (b) ${\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}$.

Jetzt verwendet man (b) um $|SA|$ und $|SC|$ in (a) zu ersetzen:

${\frac {\frac {|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}}={\frac {\frac {|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}}$

Unter erneuter Verwendung von (b) vereinfacht sich dies dann schließlich zu: (c) ${\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}$

Satz 2

Konstruiere eine zusätzliche Parallele zu $SD$ durch A. Diese Parallele schneidet $BD$ in G. Somit gilt nach Konstruktion $|AC|=|DG|$ und wegen Satz 1 gilt weiterhin :${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}$ und daher auch

${\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}$

Umkehrung von Satz 1

Angenommen $AC$ und $BD$ wären nicht parallel. Dann schneidet die Parallel zu $AC$ durch $D$ $SA$ in $B_{0}\neq B$ (*). Da nach Voraussetzung $|SB|:|SA|=|SD|:|SC|$ gilt, ergibt sich

$|SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}$

andererseit gilt nach dem 2-ten Strahlensatz auch

$|SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}$.

Dies bedeutet, dass $B$ and $B_{0}$ beide auf dem Strahl $SA$ liegen und den gleichen Abstand von $S$ haben, damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also $B=B_{0}$. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich um 2 verschiedene Punkte handelt (Bedingung (*)). Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein oder anders ausgedruckt es muss $CA\parallel BD$ gelten.

Satz 3

Kann durch mehrfache Anwendung von Satz 1 hergeleitet werden.

Siehe auch

• Daumensprung, Schätzen der Entfernung nach dem Strahlensatz mittels des eigenen Daumens

Weblinks

• http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/vierstreckensatz/vierstreckaufg1.html
  • Variable Übungen mit positivem Streckungsfaktor (java+Javascript)
• http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/vierstreckensatz/vierstreckaufg2.html
  • Variable Übungen mit negativem Streckungsfaktor (java+Javascript)

MsAcrew

Literatur

Schupp, H.: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977)