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Die Poisson-Klammer ist eine Rechenhilfe in der analytischen Mechanik . Sie ist definiert als:
{
F
,
G
}
=
∑
i
=
1
n
(
∂
G
∂
q
i
∂
F
∂
p
i
−
∂
G
∂
p
i
∂
F
∂
q
i
)
{\displaystyle \left\{F,G\right\}=\sum _{i=1}^{n}{\left({\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}\right)}}
Für die analytische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern:
{
q
i
,
p
j
}
=
δ
i
j
{\displaystyle \left\{q_{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}
{
q
i
,
q
j
}
=
0
{\displaystyle \left\{q_{i},q_{j}\right\}=0}
{
p
i
,
p
j
}
=
0
{\displaystyle \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0}
Dabei sind
q
i
{\displaystyle q_{i}}
Koordinaten ,
p
i
{\displaystyle p_{i}}
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
Kronecker-Delta .
In der Quantenmechanik verallgemeinert sich die Poisson-Klammer zu einem Kommutator , so dass eine Liealgebra entsteht.
Siehe auch
Symplektische Mannigfaltigkeit
