Lorentz-Gruppe

Die Lorentz-Gruppe O(3,1) (benannt nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker H.A.Lorentz) ist ein spezielle Gruppe in der Mathematik, die vielfache Anwendungen in der Physik, inbsondere der Relativitätstheorie, findet.

Siehe auch: Lorentztransformation (physikalisch, anschaulich)

Definition

Die Lorentz-Gruppe ist die lineare Invarianzgruppe des Minkowskiraumes $\mathbb {R} ^{3+1}$, der ein vierdimensionaler Vektorraum mit einem Pseudo-Skalarprodukt ist. Die Lorentz-Gruppe ist also die Menge aller linearen Automorphismen des Minkowskiraumes, die das Pseudo-Skalarprodukt erhält.

Sie ähnelt damit in ihrer Definition der Gruppe der Drehspiegelungen O(3) im dreidimensionalen Raum, die gerade die Menge der linearen Automorphismen des R³, die Längen und Winkel (also das Standard-Skalarprodukt))erhalten. alle geometrischen Kongruenzabbildungen enthält. Der wesentliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Lorentz-Gruppe nicht die Längen und Winkel im dreidimensionalen Raum erhält, sondern die bezüglich des indefiniten Pseudo-Skalarprodukts im Minkowskiraum definierten Längen und Winkel. Insbesondere erhält sie so genannte Eigenzeitabstände in der speziellen Relativitätstheorie.

Formal können wir daher definieren (definierende Darstellung):

$O(3,1)=\left\{\Lambda \in {\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} ):\langle \Lambda \cdot \mathbf {x} ,\Lambda \cdot \mathbf {y} \rangle _{M}=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}\,\forall \quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{4}\right\},$

wobei ${\mathcal {M}}(4,\mathbb {R} )$ die reellen 4×4 Matrizen und $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{M}=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {x} _{i}\mathbf {y} _{i}-\mathbf {x} _{4}\mathbf {y} _{4}$ das Pseudo-Skalarprodukt bezeichnet.

Eigenschaften

• Die Lorentzgruppe ist eine 6-dimensionale nicht-kompakte Liegruppe.
• Die räumlichen Rotationen, d.h. die Fixpunktgruppe eines zeitartigen Vektors, bilden eine Untergruppe. Solche Untergruppen sind nicht normal, sondern die Untergruppen zu verschiendenen Fixpunkten sind zueinander kongruiert.
• Sie ist nicht zusammenhängend, sondern besteht aus vier Zusammenhangskomponenten (keine Spiegelungen, Raumspiegelungen, Zeitspiegelungen und Raum-Zeit-Spiegelungen) . Die Untergruppe SO(3,1) der Elemente mit Determinante 1 heißt eigentliche Lorentz-Gruppe und enthält zwei der vier Zusammenhangskomponenten. Die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist die Zusammenhangskomponente die die Identität enthält.
• Sie ist nicht einfach zusammenhängend, d.h. nicht jede geschlossene Kurve kann stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden. Die universelle einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe ist die komplexe spezielle lineare Gruppe SL(2,C) (diese Gruppe findet Anwendung in der Physik bei der Theorie der projektive Darstellungen der O(3,1) in Quantentheorien).

Lie-Algebra

Die sechdimensionale Lie-Algebra der O(3,1) wird in der definierende Darstellung durch die drei infinitesimalen Erzeuger räumlicher Rotationen J_i und die drei infinitesimalen Erzeuger der Lorentz-Boosts K_i aufgespannt. Diese Lie-Algebra ist isomorph zur Lie-Algebra sl(2,C):

$[J_{i},J_{j}]=\epsilon _{ijk}J_{k}$

$[K_{i},K_{j}]=-\epsilon _{ijk}J_{k}$

wobei die Erzeuger J_i der Rotationen eine Lie-Unteralgebra bilden, nämlich die so(3).