Mengenlehre

Vorlage:Mathematische Symbole

Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie. Darüber hinaus ist sie von zentraler Bedeutung für die Aussagenlogik.

Geschichte

Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).

Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist $\in$ (gesprochen Element von), z.B. x $\in$ M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.

Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.

Neue Mathematik

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Schnittmenge: Die Menge aller roten Figuren geschnitten mit der Menge aller Kreise ergibt die roten Kreise

In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik".

Zum besseren Verständnis der Mengenlehre werden sog. Venn-Diagramme (bzw. Mengendiagramme) benutzt.

Definitionen

Seien ${A},{B}$ beliebige Teilmengen der Menge $\mathbb {X}$ .

Teilmenge (auch Inklusion): ${B}\subseteq {A}$ (B ist Teilmenge von A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist, d.h. B ist enthalten in oder gleich A. In Zeichen: $\forall x\in {\mathbb {X} }:{x}\in B\Rightarrow {x\in A}$ .

Echte Teilmenge: ${B}\subset {A}$ (B ist echte Teilmenge von A), wenn die Menge B enthalten in und ungleich A ist.

Schnittmenge: ${A}\cap {B}:=\{x\in \mathbb {X} \mid x\in {A}\land x\in {B}\}$ (A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Vereinigungsmenge: ${A}\cup {B}:=\{x\in \mathbb {X} \mid x\in {A}\lor x\in {B}\}$ (A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente, die in A oder in B oder beiden Mengen liegen.

Komplement: $\complement {A}:=\{x\in \mathbb {X} \mid x\not \in A\}$ bezeichnet das Komplement von $A$ in $\mathbb {X}$ , das ist die Menge aller Elemente von $\mathbb {X}$ , die nicht in A liegen.

Differenzmenge: ${A}\setminus {B}=\{x\in \mathbb {X} \mid x\in A\land x\not \in B\}$ (A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B

symmetrische Differenz: ${A}\,\triangle \,{B}:=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right)$ ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen

Mächtigkeit: $\left|A\right|$ bezeichnet die Mächtigkeit (auch Kardinalität) der Menge $A$ , also die Anzahl der Elemente von $A$ . Für eine endliche Menge ist die Mächtigkeit eine natürliche Zahl; bei unendlichen Mengen unterscheidet man nach verschiedenen Graden der Unendlichkeit.

Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit $\emptyset$ oder auch $\{\}$ bezeichnet.

Potenzmenge: Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}\left({A}\right)$ ist die Menge aller Teilmengen von ${A}$ .

Anmerkungen

Die Symbole für Teilmenge und echte Teilmenge wurden in Anlehnung an die Zeichen $<$ und $\leq$ gewählt. Diese Bezeichnung ist aber nicht immer einheitlich: In manchen Texten ist bei dem Zeichen \subset auch die Gleichheit der beiden Mengen zugelassen. In diesem Fall ist für die Auszeichnung einer echten Teilmenge etwa das Symbol ${B}\subsetneq {A}$ gebräuchlich.

Für die Bezeichnung des Komplements gibt es einige Varianten: Das Komplement einer Menge $A$ wird gelegentlich auch durch ${\overline {A}}$ , $A^{C}$ oder $A^{'}$ symbolisiert.

Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge. Deshalb tritt sie als Element jeder Potenzmenge auf; jede Potenzmenge umfasst mindestens dieses eine Element.

Die leere Menge kann – wie jede andere Menge auch – Element einer Menge sein: Die beiden Mengen $\emptyset$ und $\{\emptyset \}$ sind verschieden.

Beispiele

Wir betrachten die Mengen $\mathbb {X} =\{1,2,3\}$ , $A=\{1,2\}$ und $B=\{1,3\}$ . Es gelten:

$A\subseteq \mathbb {X}$ , $B\subseteq \mathbb {X}$ , $\mathbb {X} \subseteq \mathbb {X}$
$A\subset \mathbb {X}$ , $B\subset \mathbb {X}$
$A\cap B=\{1\}$
$A\cup B=\mathbb {X}$
$\complement {A}=\{3\}$ , $\complement {B}=\{2\}$
$A\setminus B=\{2\}$ , $B\setminus A=\{3\}$ , $\mathbb {X} \setminus A=\{3\}$ , $A\setminus \mathbb {X} =\emptyset$
$A\triangle B=\{2,3\}$ , $A\triangle \mathbb {X} =\{3\}$ , $B\triangle \mathbb {X} =\{2\}$
$\left|\mathbb {X} \right|$ = 3, $\left|A\right|$ = 2, $\left|\emptyset \right|$ = 0, $\left|\{\emptyset \}\right|$ = 1
${\mathcal {P}}\left(A\right)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$
${\mathcal {P}}\left(\mathbb {X} \right)=\{\emptyset ,A\cap B,\complement B,B\setminus A,A,B,A\triangle B,A\cup B\}$
${\mathcal {P}}\left(\emptyset \right)=\{\emptyset \}$ , ${\mathcal {P}}\left(\{\emptyset \}\right)=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}$
$\mathbb {N} ^{+}\subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge ${\mathcal {P}}\left(\mathbb {X} \right)$ ist bezüglich der Relation $\subseteq$ partiell geordnet, denn für alle $A,B,C\subseteq \mathbb {X}$ gilt:

Reflexivität: $A\subseteq A$

Antisymmetrie: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ folgt $A=B$

Transitivität: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt $A\subseteq C$

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind zueinander kommutativ, assoziativ und distributiv:

Kommutativgesetz: $A\cup B=B\cup A$ , $A\cap B=B\cap A$

Assoziativgesetz: $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$ , $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$

Distributivgesetz: $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ , $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$

De Morgansche Gesetze: $\complement (A\cup B)=\complement {A}\cap \complement {B}$ , $\complement {(A\cap B)}=\complement {A}\cup \complement {B}$

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Distributivgesetze: $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)\quad (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)\quad A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)\quad A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$