Die Pythagoraszahl eines Körpers $F$ ist definiert als das kleinste $p(F)\in {\mathbb {N}}$ , so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in $F$ schon als Summe von $p(F)$ Quadraten schreiben lässt.

Definition

Für einen Körper $F$ sei

\sum F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\in {\mathbb {N}},a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

\sum ^{k}F^{2}:=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\;{\Big |}\;n\leq k,a_{1},\ldots ,a_{n}\in F{\text{ und }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0\right\}

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in $F$ , die höchstens Länge $k$ haben. Offensichtlich gilt $\sum ^{k}F^{2}\subset \sum F^{2}$ für alle $k\in {\mathbb {N}}$ . Unklar ist dagegen, ob immer $k\in {\mathbb {N}}$ existiert, so dass $\sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}$ . Als Pythagoraszahl von $F$ bezeichnen wir die folgende Größe:

p(F):=\min \left\{k\in {\mathbb {N}}\cup \{\infty \}\;{\Big |}\;\sum ^{k}F^{2}=\sum F^{2}\right\}

wobei $p(F)=\infty$ genau dann, wenn $\sum ^{k}F^{2}\varsubsetneq \sum F^{2}$ für alle $k\in {\mathbb {N}}$ gilt. Es ist stets $p(F)\geq 1$

Beispiele

Die Zahlenkörper

Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für $a_{1},\ldots ,a_{n}\in {\mathbb {R}}$ ein $b\in {\mathbb {R}}$ , so dass $a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}=b^{2}$ . Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen $p({\mathbb {R}})=1$ . Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in ${\mathbb {R}}$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen $p({\mathbb {C}})=1$ .
Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen $p({\mathbb {Q}})=4$ , d.h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

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