Kugeldreieck

Kugeldreieck

Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist in der sphärischen Geometrie (Kugelgeometrie) ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise zusammenstoßen.

Ähnlich wie bei Dreiecken in der ebenen Geometrie spricht man von den Seiten und Winkeln eines Dreiecks. Allerdings versteht man unter der Länge einer Seite nicht etwa die Länge des Kreisbogens, sondern den zugehörigen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Eine Seite, die also beispielsweise einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat die Länge 90°. Die Innenwinkel (an den drei Ecken) sind definiert durch die Tangenten der Seiten – also die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Eulersche Kugeldreiecke

Meist schränkt man den Begriff des Kugeldreiecks ein auf eulersche Kugeldreiecke (benannt nach Leonhard Euler), d. h. auf Kugeldreiecke, in denen alle Seiten und Winkel kleiner als $\pi$ /bzw. 180°) sind. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche mehrere Kugeldreiecke. Anschaulich kann man dies mit der Forderung nach dem kürzesten Bogenstück des Kreises machen, wenn man sich vorstellt, dass zwei Punkte auf einem Kreis genau dann am weitesten von einander entfernt sind, wenn sie sich (diametral) gegenüberliegen , d.h. also 180° voneinander entfernt sind. Kommt man über die 180° hinaus ist das Bogenstück in die eine Richtung zwar größer als 180°, in der anderen Richtung aber kleiner als 180°, weshalb letzteres als Seite eines euklidischen Dreiecks fungieren kann.

Eigenschaften sphärischer Dreiecke

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt $A_{D}$ eines Kugeldreiecks lässt sich aus den Winkeln $\alpha ,\beta$ und $\gamma$ des Dreiecks (im Bogenmaß) und dem Kugelradius $r$ berechnen:

$A_{D}=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\cdot r^{2}$

Dieser Zusammenhang leitet sich folgendermaßen her:

Zur Flächenberechnung am Kugeldreieck

Die drei durch die Eckpunkte eines Dreiecks ABC bestimmten Geraden unterteilen die Kugeloberfläche in acht Dreiecke bzw. vier Gegendreieckspaare. Das in der Abbildung grün eingefärbte Dreieck bildet mit dem gelb eingefärbten Dreieck ABC ein Zweieck mit dem Öffunungswinkel $\beta$. Die blau und rot eingefärbten Dreiecke bilden mit dem Gegendreieck A’B’C’ Zweiecke mit den Öffnungswinkeln $\alpha$ bzw. $\gamma$.

Für die Flächeninhalte der Zweiecke gilt:

$(I)A_{\alpha }=2\alpha \cdot r^{2}$

(Analog für die Zweiecke mit den Öffnungswinkeln $\beta$ und $\gamma$.)

Für die Flächeneinhalte $A_{b}$ des blauen, $A_{g}$ des grünen und $A_{r}$ des roten Dreiecks gilt:

$A_{b}=A_{\alpha }-A_{D}$

$A_{g}=A_{\beta }-A_{D}$

$A_{r}=A_{\gamma }-A_{D}$

Zusammen mit dem gelben Gegendreieck A’B’C’ füllen das blaue, das grüne und das rote Dreieck die Hälfte der Kugeloberfläche aus:

${\frac {A_{K}}{2}}=A_{b}+A_{g}+A_{r}+A_{D}$

Setzt man $(I)$ ein, ergibt sich:

${\frac {A_{K}}{2}}=(A_{\alpha }-A_{D})+(A_{\beta }-A_{D})+(A_{\gamma }-A_{D})+A_{D}$

$=A_{\alpha }+A_{\beta }+A_{\gamma }-2A_{D}$

Mit den Gleichungen zur Berechnung der Kugeloberfläche und der Kugelzweiecke erhält man:

${\frac {4\pi r^{2}}{2}}=2\alpha r^{2}+2\beta r^{2}+2\gamma r^{2}-2A_{D}$

Für $A_{D}$ ergibt sich also:

$A_{D}=\alpha r^{2}+\beta r^{2}+\gamma r^{2}-\pi r^{2}$

$=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\cdot r^{2}$

Sphärischer Exzess

Auf der Einheitskugel mit dem Radius 1 gilt nach obiger Betrachtung für den Flächeninhalt:

$A_{D}=\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Die Summe $\alpha +\beta +\gamma -\pi$ wird als sphärischer Exzess (von lat. excedere „überschreiten“) bezeichnet, und gibt an, um wieviel die Innenwinkelsumme den Wert $\pi$ ($=180^{\circ }$) übersteigt. Im Gegensatz zum euklidischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme im Kugeldreieck nicht konstant $\pi$. Für sie gilt im Allgemeinen (als Konsequenz der Formel für Flächeninhalt):

$\pi <\alpha +\beta +\gamma <5\pi$

Bei einem kleinen Kugeldreieck ("klein" im Vergleich zur gesamten Kugeloberfläche) übersteigt die Innewinkelsummm $\pi$ nur wenig, da sich das Dreieck dem ebenen Fall des Innenwinkelsatzes annähert (Verebnung). Der Satz von Legendre besagt, wie sphärische Dreiecke geringer Größe durch Reduktion der Winkel verebnet werden können. Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (3 Winkel zu fast $\pi$), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als $3\pi$ und der Exzess daher beinahe $2\pi$.

Seitensumme

In allgemeinen sphärischen Dreiecken gilt für die Seitensumme

$0<a+b+c<4\pi$

In eulerschen Dreiecken gilt

$0<a+b+c<2\pi$

Kongruenzsätze

Im Allgemeinen ist durch sww ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt.

Die Seiten a, b und c bestimmen zwei komplementäre Dreiecke (blau und grün eingefärbt).

Zu den gegebenen Größen a, b und γ gibt es zwei dritte Seiten.

Auf der Kugel muss man zwischen den Kongruenzsätzen zu eulerschen und nichteulerschen Dreiecken unterscheiden. Für beide gilt, dass ähnliche Dreiecke bereits kongruent sind (ihr Flächeninhalt ist aufgrund der Proportionalität zum sphärischen Exzess bereits gleich). Der im euklidischen gültige Kongruenzsatz sww (Seite-Winkel-Winkel) hat auf der Kugel hingegen keine Gültigkeit (vgl. Abbildung). Die Kongruenzverhältnisse in eulerschen Dreiecken sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Übersicht zu den Kongruenzsätzen in eulerschen Dreiecken

(zur Dualisierung siehe folgenden Abschnitt)

gegebene Dreiecksstücke	dual dazu	Kongruenzklasse eindeutig bestimmt?
sss	www	ja
ssw	sww	nein
sws	wsw	ja

In nichteulerschen Dreiecken bestimmen sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse (vgl. Abbildungen).

Seiten- und Winkelverhältnisse

Die sphärische Trigonometrie ermöglicht es, aus drei bekannten Größen (Seiten oder Winkeln) des Kugeldreiecks die übrigen zu berechnen.

Siehe auch

Kugelzweieck, Sphärische Trigonometrie, Einheitskugel, Sphärische Astronomie