Multiplikation

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten in der Mathematik. Sie entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summandens:

$\underbrace {a+a+\cdots {}+a} _{bMal}=\sum _{i=1}^{b}a=a\cdot b$

a und b nennt man Faktoen oder Multiplikanden, das Ergebnis heißt Produkt.

Anstelle von 3·4, wird manchmal auch 3×4 geschrieben. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x, xy).

Die Umkehrrechnung zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Rechengesetze

• Assoziativgesetz: a·(b·c) = (a·b)·c = a·b·c (siehe Klammer (Mathematik))
• Kommutativgesetz: a·b = b·a
• Distributivgesetz: a·(b+c) = a·b + a·c
• neutrales Element: a·1 = a
• (-1)·a = -a
• a·0 = 0
• Durch 0 darf nie dividiert werden.

Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass die Reihenfolge eigentlich egal ist, man kann also auch von rechts beginnen, oder (aufgrund des Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen.

Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation).

Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Verallgemeinerungen

Die Definition der Multiplikation und ihre Rechenregeln können auch auf größere Zahlenmengen ausgweitet werden: rationale Zahlen, reelle Zahlen und sogar komplexe Zahlen. Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu einer mathematischen Struktur, die Ring genannt wird. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Körper.

Im Vektorraum gibt es zwei Arten von Produkten: das Skalarprodukt und (allerdings nur im R³) das Kreuzprodukt (vektorielles Produkt).

Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren==siehe auch== Linearfaktor, Primfaktorzerlegung z.B. 2*2*2*2*2*2=64 <math>2^6=64