Befreundete Zahlen

Zwei verschiedene natürliche Zahlen, bei denen die Summe der Teiler der ersten Zahl gleich der zweiten Zahl ist, und umgekehrt, heißen befreundete Zahlen.

Beispiel: Die Summe der Teiler von 220 ergibt 284:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Und die Summe der Teiler von 284 ergibt 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Etwas ähnliches, wie die befreumdete Zahlen sind Vollkommene Zahlen.

Oft bezeichnet die Summe der echten Teiler von x mit σ^*(x). Damit kann man die Definition auch abstrakt formulieren:

Zwei natürliche Zahlen a und b heissen befreundete Zahlen, wenn mit σ^*(a) = b und mit σ^*(b) = a.

Frühe Erwähnungen und der Satz von Thabit ibn Qurrah

Erstmals erwähnte Pythagoras ca. 500 v. Chr. die befreundeten Zahlen 220 und 284. Auf die Frage, was ein Freund sei, antwortete er: "Einer, der ein anderes Ich ist, wie 220 und 284."
1636 teilte Pierre de Fermat in einem Brief an Mersenne mit, dass er die befreundeten Zahlen 17296 und 18416 gefunden habe. Allerdings ermittelte Walter Borho im Jahre 2003, dass dieses Zahlenpaar bereits im 14. Jahrhundert von Ibn al-Banna (1265 - 1321) sowie von Kamaladdin Farist gefunden wurde. Man zitiert Ibn al-Banna mit: "Die Zahlen 17296 und 18416 sind befreundet, die eine abundant, die andere defizient. Allah ist allwissend."

Man benutzte den Satz von Thabit ibn Qurrah (836 -901, arabischer Mathematiker):

Für eine feste natürliche Zahl n sei x = 3·2ⁿ-1, y = 3·2^n-1-1 und z = 9·2^2n-1-1.

Wenn x,y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2ⁿ·x·y und b = 2ⁿ·z befreundet.

Den Beweis dieses Satzes findet man im Artikel über Teilersummen.

Beispiele

Für n=2 sind x=11, y=5, z=71 alles Primzahlen. Damit ergibt sich

a = 4·11·5 = 220

b = 4·71 = 284

Für n=3 ist z=287=7·41 nicht prim, d.h. mit n=3 findet man keine befreundeten Zahlen.

Für n=4 ergibt sich das von Fermat gefundene befreundete Paar.

Für n=7 berechnete Descartes 1638 die Freunde 9.363.584 und 9.437.056. Allerdings waren auch diese laut Borho bereits um 1600 bekannt, und zwar durch Muhammed Baqir Yazdi.

Heute ist bekannt, dass man mit dem Satz von Thabit keine weiteren befreundeten Zahlen für n <= 191600 ermitteln kann.

Ein Satz von Leonhard Euler

Leonhard Euler verallgemeinerte den Satz von Thabit:

Für eine feste natürliche Zahl n sei x = f·2ⁿ-l, y = f·2^n-k-1 und z = f²·2^2n-k-1 mit f=2^k+1 und n > k > 0.

Wenn x,y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2ⁿ·x·y und b = 2ⁿ·z befreundet.

Für den Spezialfall k=1 erhält man den Satz von Thabit.

1747 fand Euler 30 weitere befreundete Zahlenpaare und veröffentlichte diese in seinem Werk De numeris amicabilibus. 3 Jahre später veröffentlichte er weitere 34 Zahlenpaare, davon waren allerdings 2 Paare falsch.

1830 fand Adrien Marie Legendre ein weiteres Paar.

1867 zeigte der Italiener B. Niccolò I. Paganini (nicht der Violinvirtuose) als 16-jähriger, dass 1184 und 1210 befreundete Zahlen sind. Diese hatte man bis dahin übersehen. Es ist das zweitkleinste befreundete Zahlenpaar.

1946 veröffentlichte Escott die komplette Liste der 233 befreundeten Zahlen, die bis 1943 bekannt waren.

1985 berechnete Herman te Riele (Amsterdam) alle befreundeten Zahlen kleiner als 10.000.000.000 - insgesamt 1427 Paare.

Der Satz von Walter Borho

Weiter befreundete Zahlen kann man finden mit Hilfe vom Satz von Walter Borho (Professor an der Universität Bonn):

Seien A und B befreundete Zahlen mit A=a·u und B=a·s wobei s eine Primzahl ist, und sei weiter p=u+s+1 eine Primzahl und p kein Teiler von a.

Dann gilt: Sind für eine feste natürliche Zahl n q₁=(u+1)pⁿ-1 prim und q₂=(u+1)(s+1)pⁿ-1 prim, dann sind A₁=Apⁿq₁ und B₁=apⁿq₂ befreundete Zahlen.

Beispiele

A=220=2²·55, B=284=2²·71 sind befreundet.
Also: a=4, u=55, s=71, s ist prim.
p=127 ist prim und nicht Teiler von a=4
n=1: q₁=56·127-1=7111=13·547 ist nicht prim. Für n=1 erhält man deshalb keine neuen befreundeten Zahlen.
n=2: q₁=903.223, q₂=65.032.127 beides Primzahlen. Daraus folgt: A₁=220·127²·903.223 und B₁=2²·127²·65.032.127 sind befreundete Zahlen.

Mit Hilfe dieses Satzes fand Borho weitere 10455 befreundete Zahlen.

Im Februar 2003 sind mehr als 4 Mio. befreundete Zahlen bekannt. Das größte Paar hat 5577 Ziffern.

Man vermutet, dass es unendlich viele befreundete Zahlen gibt, aber ein Beweis ist bisher nicht bekannt.

Literatur

Eine gute Darstellung über die befreundeten Zahlen - Historie, Theorie, Stand der Wissenschaft - findet man in:

Mariano Garcia, Jan Munch Pedersen, Herman te Riele: Amicable Pairs, a Survey. Report Rapport MAS, Report MAS-R0307, July 31, 2003, http://ftp.cwi.nl/CWIreports/MAS/MAS-R0307.pdf

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/vollkzahlen.html