Banach-Tarski-Paradoxon

Das Banach-Tarski Paradox ist eine der wohl anschauungsfremdesten Aussagen der Mathematik:

Sei $p\geq 3$ und seien $X,Y\subset \mathbb {R} ^{p}$ Mengen mit nicht leerem Inneren. Dann gibt es Bewegungen $\beta _{1},\dots ,\beta _{n}$ und eine disjunkte Zerlegung $X_{1},\dots ,X_{n}$ von $X$ derart, daß $Y$ die disjunkte Vereinigung der Mengen $\beta _{1}(X_{1}),\dots ,\beta _{n}(X_{n})$ ist.

Beispielsweise kann man also die Einheitskugel im $\mathbb {R} ^{3}$ durch "zerschneiden" in endlich viele Teile, verschieben und rotieren (bewegen) der Teile und wieder zusammenfügen der Teile zu zwei Einheitskugeln im $\mathbb {R} ^{3}$ machen. Das Volumen der Ausgangsmenge war 1, das der entstehenden Menge ist jedoch 2, obwohl anschaulich weder durch zerschneiden noch durch bewegen oder zusammenfügen der endlich vielen Einzelteile Volumen "aus dem nichts" entstehen sollte.