Markow-Ungleichung (Stochastik)

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, gibt die Markow-Ungleichung (nach Andrei Andrejewitsch Markow) eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine nicht-negative Funktion einer Zufallsvariable größer oder gleich einer positiven Konstante ist.

Die Markow-Ungleichung (wie ähnliche Ungleichungen) vergleicht Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert und gibt eine in aller Regel schwache, aber nützliche Grenze für die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable an.

Satz

Sei $X$ eine Zufallsvariable und $a$ eine positive, reelwertige Konstante. Sei ferner $h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )$ eine positive, reellwertige Funktion. Die allgemeine Markow-Ungleichung besagt dann:

$\Pr \left[h(X)\geq a\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[h(X)\right]}{a}}$.

Beweis

Sei $\Omega$ der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt nach der Definition des Erwartungswertes:

${\textrm {E}}\left[h(X)\right]=\sum _{\omega \in \Omega }\omega \cdot \Pr[h(X)=\omega ]\geq \sum _{\omega \in \Omega , \atop \omega \geq a}\omega \cdot \Pr[h(X)=\omega ]$

$\geq \sum _{\omega \in \Omega , \atop \omega \geq a}a\cdot \Pr[h(X)=\omega ]=a\cdot \sum _{\omega \in \Omega , \atop \omega \geq a}Pr[h(X)=\omega ]\geq a\cdot \Pr[h(X)\geq a],$

wobei die letzte Abschätzung auf Grund der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt. Nach Division durch $a$ folgt die Behauptung.

Alternativer Beweis

Sei $A=\left\{x:h(x)\geq a\right\}$ und bezeichne $I_{A}(x)$ die charakteristische Funktion der Menge $A$. Dann gilt:

$a\cdot I_{A}(x)\leq h(x).$

Der Satz folgt, wenn man auf beiden Seiten den Erwartungswert nimmt und

${\textrm {E}}\left[I_{A}(X)\right]=\Pr \left[h(X)\geq a\right]$

berücksichtigt.

Beispiele

• Betrachte die folgende Frage: Wie wahrscheinlich ist es, bei einem Würfelwurf wenigstens eine 4 zu würfeln? Es sei $X$ das Ergebnis des Würfelwurfes mit ${\textrm {E}}[X]=3{,}5$. Dann folgt mit $h(x)=x$ als identische Abbildung und mit $a=4$ durch die Markow-Ungleichung:

$\Pr \left[X\geq 4\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[X\right]}{4}}={\frac {3{,}5}{4}}={\frac {7}{8}}$.

• Setzt man $h(x)=|x|$, so erhält man den bekannten Spezialfall der Markow-Ungleichung

$\Pr \left[|X|\geq a\right]\leq {\frac {{\textrm {E}}\left[|X|\right]}{a}}.$

• Ist $h(x)=x^{2}$ und wendet man die Markow-Ungleichung auf eine Zufallsvariable $Y=X-{\textrm {E}}[X]$ an, so erhält man eine Version der Tschebyschow-Ungleichung.

Literatur

• Ulrich Krengel, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 7. Auflage, Vieweg Verlag, 2003.