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Die Normalgleichung einer Ebene hat die Form
⟨
(
x
→
−
a
→
)
,
n
→
⟩
=
0
{\displaystyle \langle ({\vec {x}}-{\vec {a}}),{\vec {n}}\rangle =0}
wobei
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
Normalenvektor der Ebene und
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
Ortsvektor eines beliebigen Punktes ist, der in der Ebene liegt.
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle \ ,\ \rangle }
Skalarprodukt .
Jeder Punkt (x1 , x2 , x3 ), der die Gleichung erfüllt, liegt in der Ebene, wobei gilt:
x
→
=
(
x
1
x
2
x
3
)
{\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}
Punkte, für die Normalgleichung nicht erfüllt ist, liegen
vor der Ebene, wenn
⟨
(
x
→
−
a
→
)
,
n
→
⟩
≥
0
{\displaystyle \langle ({\vec {x}}-{\vec {a}}),{\vec {n}}\rangle \geq 0}
hinter der Ebene, wenn
⟨
(
x
→
−
a
→
)
,
n
→
⟩
≤
0
{\displaystyle \langle ({\vec {x}}-{\vec {a}}),{\vec {n}}\rangle \leq 0}
Siehe auch: Hessesche Normalform
