RC-Glied

Unter RC-Gliedern versteht man in der Elektronik Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand (R) und einem Kondensator (C) aufgebaut sind. Es ist ein lineares, zeitinvariantes System. In erster Linie sind damit die Frequenzfilter Tiefpass und Hochpass gemeint (wobei letzteres systematisch CR-Glied genannt werden könnte).

Datei:Tiefpass.PNG

Einfacher RC-Tiefpass

Verhalten im Zeitbereich

Ladevorgang

Exemplarisch ist hier die Systemantwort auf eine Sprungfunktion dargestellt. Die Spannung beträgt null Volt bis zum Zeitpunkt null und steigt dann unmittelbar auf $U_{\rm {max}}$.
In den Kondensator fließt so lange Strom, bis die Platten elektrisch aufgeladen sind und keine weitere Ladung annehmen. Dies tritt auf, wenn die Kondensatorspannung U(t) genauso groß wie die angelegte Spannung U_max ist. Die eine Platte ist dann elektrisch positiv, die andere negativ geladen. Auf der negativ geladenen Seite herrscht ein Elektronenüberschuss.

Die Ladezeit des Kondensators ist proportional zur Größe des Widerstands R und zur Kapazität C des Kondensators. Das Produkt von Widerstand und Kapazität nennt man die Zeitkonstante $\tau$.

$\tau =R\cdot C\,$

Theoretisch dauert es unendlich lange, bis U(t)=U_max ist. Für praktische Zwecke kann man als Ladezeit t_L verwenden, nach der der Kondensator näherungsweise als vollständig (mehr als 99%) geladen angesehen werden kann.

$t_{L}=5\cdot \tau \,$

Datei:Ladevorgang.PNG

Verlauf von Spannung U und Strom I beim Ladevorgang,
U_max ist die Spannung der Spannungsquelle als maximal mögliche Spannung

Die Zeitkonstante τ markiert zugleich den Zeitpunkt, an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert der Spannung erreicht. Nach dieser Zeit wäre der Kondensator auf den Endwert geladen, wenn man ihn mit dem konstanten Strom $I_{\rm {max}}$ laden könnte. Tatsächlich nimmt die Stromstärke bei konstanter angelegter Spannung jedoch mit der Zeit exponentiell ab.

Der maximale Strom $I_{\rm {max}}$ fließt zum Zeitpunkt t=0. Dieser ergibt sich durch den Widerstand R nach dem ohmschen Gesetz, wobei U_max die angelegte Spannung der Spannungsquelle ist:

$I_{\rm {max}}={\frac {U_{\rm {max}}}{R}}\,$

Der Verlauf der Ladespannung U(t) bzw. deren jeweilige zeitliche Größe wird mit der folgenden Gleichung beschrieben, wobei e die Eulersche Zahl, t die Zeit nach Beginn der Ladung und $\tau$ die Zeitkonstante sind:

$U(t)=U_{\rm {max}}\cdot (1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})\,$,

Dabei wird vorausgesetzt, dass der Kondensator zu Beginn ungeladen war: $U(t=0)=0$. Die Spannung ist also im ersten Moment Null und steigt dann in Form einer Exponentialfunktion an. Nach der Zeit $t=\tau$ hat die Spannung etwa 63% der angelegten Spannung U_max erreicht. Nach der Zeit $t=5\tau$ ist der Kondensator auf mehr als 99% aufgeladen.

Der Verlauf der Stromstärke I(t) bzw. deren jeweilige zeitliche Größe wird mit der folgenden Gleichung beschrieben:

$I(t)=I_{\rm {max}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,$

Hier beträgt der Strom im ersten Moment $I(t=0)=I_{\rm {max}}$ und nimmt dann in Form einer Exponentialfunktion wie beim Entladevorgang ab. Nach der Zeit $t=\tau$ beträgt der Strom nur noch etwa 37% seines Anfangswertes und nach der Zeit $t=5\tau$ ist er auf weniger als 1% abgefallen.

Entladevorgang

Das Bild zeigt den Entladevorgang, wenn der Kondensator zu Beginn auf den Wert U_max geladen ist und über den Widerstand R entladen wird. Hier sind sowohl die Spannung als auch die Stromstärke zu Beginn am größten:

Für t = 0 gilt: $I_{\rm {max}}={\frac {U_{\rm {max}}}{R}}$      und beträgt zu einem beliebigen Zeitpunkt danach      $I(t)={\frac {U(t)}{R}}$

Datei:Entladevorgang.PNG

Verlauf von Spannung U und Strom I beim Entladevorgang,
U_max ist die Anfangsspannung

Die Spannung nimmt im Verlaufe der Entladung mit der Zeit ab gemäß

$U(t)=U_{\rm {max}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,$

Der Strom, der mit der Spannung U(t) über den Entladewiderstand R verknüpft ist, zeigt den entsprechenden Verlauf

$I(t)=I_{\rm {max}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,$

Der Entladestrom ist bei der vorgegebenen Zählpfeilrichtung negativ.

Impulsantwort

Die Impulsantwort beschreibt den Ausgangsspannungsverlauf auf eine diracimpulsförmige Eingangsspannung, der Ableitung der Sprungfunktion. Da das RC-Glied ein lineares System ist, ist auch der Ausgangsspannungsverlauf durch die Ableitung vorgegeben:

$U(t)=U_{q}\cdot \left|{\frac {d}{dt}}(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})\right|={\frac {U_{q}}{|\tau |}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,$

Periodische Signale

Die Filterwirkung wird insbesondere bei Rechtecksignalen deutlich; die Filterantwort setzt sich aus Segmenten des Lade- und Entladeverhaltens zusammen:

Bild eines Kondensators, der in Abständen von 10ms geladen und wieder entladen wird

Verhalten im Frequenzbereich

Tiefpass

Amplitudengang eines RC-Tiefpassfilters. Die Ordinate zeigt die Amplitudenverhältnis $|H|$ in Dezibel, die Abszisse die normierte Kreisfrequenz $\Omega$ in logarithmischer Darstellung.

Widerstand und Kondensator bilden einen frequenzabhängigen Spannungsteiler; die Impedanzen Z sind R bzw. $1/(j\omega C)$. Für das RC-Glied gilt für eine harmonisch oszillierende Spannung der Frequenz $f$:

$U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}\,$

und somit für das Übertragungsverhalten, das als Quotienten von Ausgangs- zur Eingangsspannung definiert ist:

$H={\frac {U_{a}}{U_{e}}}={\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}={\frac {\frac {1}{j\omega C}}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}={\frac {1}{1+j\omega RC}}={\frac {1}{1+j\Omega }}\,$,

wobei die normierte Frequenz Ω = ω/ω₀ sich aus der Division von Kreisfrequenz ω = 2πf und Grenzfrequenz ω₀ = 1/(RC) = 1/τ ergibt.

Für tiefe Frequenzen Ω << 1 ist H ungefähr 1, Ein- und Ausgangsspannung etwa gleich, weshalb man den Bereich auch engl. als Passband bezeichnet.
Für Frequenzen Ω >> 1 fällt H mit 20 dB pro Dekade = 6 dB pro Oktave ab. Dieses ist die Übergangsfrequenz oder die Eckfrequenz (engl. cutoff frequency). Der weggefilterte Bereich wird englisch mit Stopband bezeichnet.

Hochpass

Die Verschaltung als Hochpass unterscheidet sich von der des Tiefpasses durch Vertauschung von R und C. Demgemäß gilt

$U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {Z_{R}}{Z_{C}+Z_{R}}}\,$

und

$H={\frac {U_{a}}{U_{e}}}={\frac {Z_{R}}{Z_{C}+Z_{R}}}={\frac {R}{{\frac {1}{j\omega C}}+R}}={\frac {j\omega RC}{1+j\omega RC}}={\frac {j\Omega }{1+j\Omega }}\,$,

Der Amplitudengang ist gegenüber dem Tiefpass entlang $\Omega =1$ gespiegelt, hohe Frequenzen können nahezu ungedämpft passieren.

Beschreibung im Spektralbereich (Laplace-Transformation)

Mit einer analogen Herleitung erhält man für den Tiefpass

$H(s)={\frac {1}{1+sRC}}\,$,

eine Polstelle bei $s=-1/RC$. Bei dem Hochpass

$H(s)={\frac {sRC}{1+sRC}}\,$,

ergibt sich ebenfalls eine Polstelle bei $s=-1/RC$, zusätzlich eine Nullstelle im Ursprung.

Weblinks

• RC-Glieder (Filter) mit 6 dB pro Oktave unter der Lupe
• RC-Glieder (Filter) -6 dB pro Oktave entsprechen 20 dB pro Dekade
• Umrechnung: Zeitkonstante und Übergangsfrequenz (Grenzfrequenz)
• RC-Glied Berechnung Übergangsfrequenz und Zeitkonstante
• Aufladen und Entladen eines Kondensators (mit Formelherleitungen)