Polygon

einfaches, nicht überschlagenes, planares, konvexes, regelmäßiges Siebeneck

Ein Polygon (v. griech.: polys = viel + gonos = Winkel) oder auch Vieleck ist ein Begriff aus der Geometrie und dabei insbesondere der Planimetrie. Einfach gesagt erhält man ein Polygon, indem man mindestens drei voneinander verschiedene Punkte in einer Zeichenebene durch Strecken so miteinander verbindet, dass durch den entstandenen Linienzug eine zusammenhängende Fläche (Figur) umschlossen wird. Diese Fläche nennt man Polygon. Dreiecke, Vierecke und Sechsecke sind aus dem Alltag bekannte Beispiele für Polygone.

Mathematische Definition

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel $P:=\left(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}\right),P_{i}\in \mathbb {R} ^{m},1\leq i\leq n$ von $n$ Punkten (die Eckpunkte oder kurz Ecken genannt werden) eindeutig definiert wird.

Die Strecken ${\overline {P_{i}P_{i+1}}}\left(i=1,\ldots ,n-1\right)$ und ${\overline {P_{n}P_{1}}}$ bezeichnet man als Seiten oder Kanten des Polygons, alle anderen Verbindungsstrecken ${\overline {P_{i}P_{j}}}$ zweier Polygon-Eckpunkte als Diagonalen.

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

• Das Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte.
• Die Kanten schneiden (berühren) einander nur in den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.
• Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch $P_{n},P_{1},P_{2}$ und $P_{n-1},P_{n},P_{1}$ gelten als angrenzende Eckpunkte.
• Falls der Schnitt zweier Kanten entweder leer oder eine Ecke ist, und jede Ecke zu höchstens zwei Kanten gehört (das heißt, es liegt keine Selbstüberschneidung vor), bezeichnet man das Polygon als einfach.
• Es muss genau ein zusammenhängendes Inneres bzw. Äußeres haben. Gegenbeispiel: Ein Polygon mit einem polygonalen Loch, also z.B. ein Quadrat mit einem dreieckigen Loch.

Mathematische Beziehungen

Innenwinkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen, konvexen $n$-Eck ist die Summe der Innenwinkel

$\alpha _{1}+...+\alpha _{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

Sind darüber hinaus alle Innenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

$\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }$.

Anzahl der Diagonalen

Für konvexe Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

1. Jede der $n$ Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
2. Die Verbindung von Ecke $P_{a}$ zur Ecke $P_{b}$ ist mit der Verbindung von $P_{b}$ nach $P_{a}$ identisch.
3. Genau $n$ Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein konvexes $n$-Eck genau ${\frac {n\cdot (n-1)}{2}}-n$ Diagonalen.

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen (s.o.) Polygons durch kartesische Koordinaten $(x_{i},y_{i})$ gegeben sind, kann man die Fläche des Polygons nach der Gaußschen Trapezformel berechnen:

$\mathrm {2} A=\left|\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\right|$

$\mathrm {2} A=\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+x_{i+1})\cdot (y_{i+1}-y_{i})\right|$

Besondere Polygone

Unter den unendlich vielen Polygonen stellen die nachstehend aufgelisteten etwas Besonderes dar. Einige von ihnen können entweder unerwarteterweise exakt (Beispiel 65537-Eck) oder in sehr guter Näherung (Beispiel Siebeneck) mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Andere haben neben der geometrischen eine Bedeutung als Form in der Architektur (Beispiel Pentagon) oder in der Symbolik (Beispiel Pentagramm).

• Dreieck
• Viereck
  • Drachenviereck
  • Parallelogramm
  • Quadrat
  • Raute
  • Rechteck
  • Trapez
• Fünfeck (Pentagon)
• Sechseck (Hexagon)
• Siebeneck (Heptagon)
• Achteck (Oktogon)
• Neuneck
• Siebzehneck (Heptadekagon)
• 257-Eck
• 65537-Eck

Spezielle Typen

Vielecke können gleichseitig und/oder gleichwinklig sein; hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßiges Vieleck (Isogon) bezeichnet. Ein reguläres $n$-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius $r_{\mathrm {u} }$ und einen Inkreis mit Radius $r_{\mathrm {i} }$. Die Länge jeder Seite wird mit $a$ bezeichnet, die Seitenanzahl mit $n$. Daraus ergeben sich folgende Formeln für reguläre, nicht-überschlagene Polygone:

Flächeninhalt

$A=n{\frac {\,a\,r_{i}}{2}}={\frac {n}{2}}\,r_{u}^{2}\,\sin {\frac {2\pi }{n}}={\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}={\frac {n\cdot a^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}$

Inkreisradius

$r_{i}={\frac {a}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}={\frac {a}{2\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}$

Umkreisradius

$r_{u}={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}$

Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein.

Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

Regelmäßige Polygone

Wichtige Kenndaten: (r = Radius Umkreis)

Regelmäßige Polygone

Polygon	Seitenlänge $a$	Zentriwinkel $\alpha$	Umfang $u$	Fläche $A$
Dreieck	$a=r\cdot {\sqrt {3}}$	$120^{\circ }$	$u=r\cdot 3{\sqrt {3}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}$ $A\approx r^{2}\cdot 1{,}299038$
Quadrat	$a=r\cdot {\sqrt {2}}$	$90^{\circ }$	$u=r\cdot 4{\sqrt {2}}$	$A=r^{2}\cdot 2$
Fünfeck	$a=r\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$72^{\circ }$	$u=r\cdot 5{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{8}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$ $A\approx r^{2}\cdot 2{,}377641$
Sechseck	$a=r\,$	$60^{\circ }$	$u=r\cdot 6$	$A={\frac {3}{2}}r^{2}{\sqrt {3}}$ $A\approx r^{2}\cdot 2{,}598076$
Siebeneck	$a\approx r\cdot 0{,}867767$	$51{\tfrac {3}{7}}^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6{,}074372$	$A\approx r^{2}\cdot 2{,}736410$
Achteck	$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$45^{\circ }$	$u=r\cdot 8{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ $u\approx r\cdot 6{,}122935$	$A=r^{2}\cdot 2{\sqrt {2}}$ $A\approx r^{2}\cdot 2{,}828427$
Neuneck	$a\approx r\cdot 0{,}68404029$	$40^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6{,}15636258$	$A\approx r^{2}\cdot 2{,}892544$
Zehneck	$a=r\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ $a\approx r\cdot 0{,}618034$	$36^{\circ }$	$u=r\cdot 5\left({\sqrt {5}}-1\right)$ $u\approx r\cdot 6{,}180340$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$ $A\approx r^{2}\cdot 2{,}938926$
Zwölfeck	$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ $a\approx r\cdot 0{,}517638$	$30^{\circ }$	$u=r\cdot 12{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ $u\approx r\cdot 6{,}211657$	$A=r^{2}\cdot 3$
$n$-Eck	$a=2\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$	${\frac {360^{\circ }}{n}}$	$u=2\cdot n\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$	$A={\frac {r^{2}\cdot n}{2}}\cdot \sin {\frac {360^{\circ }}{n}}$
Grenzwert $n\to \infty$ (Kreis)	$\to 0$	$\to 0$	$u=r\cdot 2\pi$ $u\approx r\cdot 6{,}283185$	$A=r^{2}\cdot \pi$ $A\approx r^{2}\cdot 3{,}141593$

Berühmte Vielecke

• das „Pentagon“ (Sitz des US-Verteidigungsministeriums);
• das Pentagon in Kronach: die Festung Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss;
• Frankreich wird aufgrund seiner geographischen Form auch als Hexagon bezeichnet;
• das karolingische Oktogon im Grundriss des Aachener Doms.

Polygone in der Computergraphik

Datei:Polygon face.jpg

Polygonmodell mit verfeinertem Surfacemodell im Wechsel

In der 3D-Computergrafik meint man mit Polygonen oft Dreiecke, da diese Grundlage für die Berechnung bei der Bildsynthese sind. Dieses Primitiv wird durch drei Vertices, in Form eines dreidimensionalen Vektors, beschrieben.

Mit Hilfe spezieller 3D-Grafiksoftware kann ein Polygon aus beliebigen einzelnen Eckpunkten und Kanten/Segmenten zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu einem einfachen Polygon geschlossen wird, verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw. das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet. Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten, Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skalieren oder Scheren des Polygons in einem Kontextmenü. Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden.

Je zahlreicher und kleiner die Polygone sind, desto realistischer kann die künstliche Bildschirmwelt wirken.

Die technische Grafik-Leistung eines Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Qualität der gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe. Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und plastischer wirkt die Grafik im Spiel. Voraussetzung für eine „wirklichkeitsnahe“ Wiedergabe am Bildschirm ist daher ein schneller Prozessor. Die PlayStation 2 kann theoretisch 70 Millionen Polygone pro Sekunde verarbeiten. Nicht vergleichbar, doch kann moderne 3D-Grafiksoftware mehrere Milliarden Polygone verarbeiten.

Speicherung von Polygonen und polygonalen Netzen

Hauptartikel: Polygonnetz

Zur Speicherung von Polygonen und polyonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen. Die bekanntesten Strukturen sind die Eckenliste, die Kantenliste, die Winged Edge-Liste und die doppelt verkettete Kantenliste (doubbly connected halfedge list).

Siehe auch

• Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel
• Satz von Pick (für Polygone auf dem Gitter)
• Häufigkeitspolygon
• konstruierbare Polygone
• Graham Scan

Weblinks

• Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
• Sichtbarkeit in einfachen Polygonen
• Rasterung von Polygonen