Diskrete Mathematik

Die diskrete Mathematik als Zweig der Mathematik befasst sich mit mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der Analysis, die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff diskret als eckig verdeutlichen (in Anlehnung an den Treppeneffekt bei Kurvendarstellungen).

Die diskrete Mathematik ist ein recht junges Gebiet. Ein wesentlicher Faktor in ihrer Entwicklung war das Aufkommen des binär rechnenden Computers, der systembedingt mit diskreten Zuständen arbeitet. Mangels Alternativen waren die Mathematiker gezwungen, Gebiete, die bisher rein stetig behandelt worden waren, auf zugrundeliegende diskrete Mengen zu überführen, um die Korrektheit umfangreicher maschineller Berechnungen abzusichern, die durch Menschen nicht mehr zu tätigen sind. Dabei sind vor allen Dingen die Bemühungen auf dem Gebiet der numerischen Mathematik zu würdigen, die der Beseitigung von Rundungsfehlern dienen, die durch die Diskretisierung hervorgerufen werden. Als ein Beispiel für die Auswirkung solcher Fehler kann die Simulation eines physikalischen Pendels dienen. Wird die Auslenkung des Pendels auf herkömmliche Weise berechnet, so kann man beobachten, wie das Pendel in der Simulation immer stärker ausschwingt, was einem Perpetuum Mobile entspräche.

Kerngebiete

Zu den Kerngebieten der diskreten Mathematik zählen:

• Mathematische Logik
• Relationen
• Funktionen
• Kombinatorik
• Intelligenz
• Graphentheorie
• Zahlentheorie
• Kodierungstheorie
• Kryptografie

Darüber hinaus hat die diskrete Mathematik in folgenden Gebieten zusätzliche Beiträge geliefert:

• Weitere Beiträge der Numerik zur Verbesserung des diskreten Rechnens lassen sich auf den Gebieten der linearen und diskreten Optimierung (welche über kombinatorische Aufgaben hinausgeht) finden.
• Die diskrete Mathematik hat viele Berührungspunkte mit der Algebra und der Zahlentheorie, und auch mit der Logik (z.B. über Boolesche Verbände).
• In der Geometrie gibt es das Teilgebiet der diskreten Geometrie.
• In der Berechenbarkeitstheorie, die ein Teilgebiet der theoretischen Informatik ist, benötigt man endliche Automaten, die in der diskreten Mathematik untersucht werden.

Siehe auch

Finitismus

Weblinks

• Grundlagen in Logik, Kombinatorik und Zahlentheorie (Vorlesungsskript zu "Diskrete Mathematik und Logik II" der Universität Jena)

Wikibooks: Diskrete Mathematik – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Marc-Alexander Zschiegener: Diskrete Mathematik für Einsteiger, Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2004.
• Thomas Ihringer: Diskrete Mathematik, Heldermann Verlag, Lemgo, 2002, ISBN 3-88538-109-5.
• Christoph Meinel, Martin Mundhenk: Mathematische Grundlagen der Informatik - Mathematisches Denken und Beweisen, Teubner-Verlag, Wiesbaden, 2006.