Ring (Algebra)

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen Z, Addition und Multiplikation definiert sind und eine allgemeine Subtraktion als Umkehr der Addition möglich ist.

Formal definiert ist ein Ring eine Menge R mit zwei darauf definierten abgeschlossenen zweistelligen Funktionen, bezeichnet als Addition (+) und Multiplikation (•). Bezüglich der Addition ist R eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element 0 genannt wird. Die Multiplikation ist assoziativ. Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz wohldefiniert verknüpft, das heißt es gilt

a • (b + c) = a•b + a•c
(a + b) • c = a•c + b•c

Die Existenz der allgemeinen Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring. Gibt es bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, so wird dies normalerweise als 1 bezeichnet (Ring mit 1, bzw. unitärer Ring). Ist R ein Ring mit 1 und gibt es zudem für alle a in R\{0} ein multiplikatives Inverses, so ist R ein Schiefkörper, ist R zudem noch kommutativ sogar ein Körper (siehe Körper (Mathematik)).