Diskussion:Lebesgue-Integral

Schön, aber wo ist die Definition davon, was ein Lebesgue-Integral ist. Wann ist eine Funktion Lebesgue integrierbar? Welche Funktionen sind Lebesgue-integrierbar aber nicht Riemann-integrierbar? Was ist der wesentliche Unterschied zwischen dem Lebesgue-Integral und dem Riemann-Integral?

Die Definition ist da - sie ist leider nur nicht so einfach anzugeben, weil man aufeinander aufbauend das Lebesgue-Integral für treppenfunktionen,nicht-negative,beliebige definieren muss.

Bei den anderen Sachen wäre es natürlich sinnvoll etwas zu erwähnen um die ganze Sache ein bisschen anschaulicher zu gestalten --Saraedum 13:33, 17. Mär 2005 (CET)

Alle Riemann-integrierbaren Funktionen sind Lebesgue-integrierbar

Es steht da: Jede Riemann-integrierbare Funktion ist Lebesgue-integrierbar. Das stimmt aber doch bei unbestimmten Riemann-Integralen nicht. Das Riemann-Integral von sinx/x exisiert, das Lebesgue-Integral jedoch nicht.

Es steht ja auch nirgends geschrieben, dass eine uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion Lebesgue-integriebar sein muss.

Von Riemann-integrierbar spricht man üblicherweise, wenn beschränkte Intervalle vorliegen.

Überarbeiten 19. Mai 2005

Es sollte in der Definition noch irgendwo über die verwendeten Konvergenzbegriffe gesprochen werden (monotone punktweise Konvergenz oder $L^{1}$-Konvergenz oder whatever).--Gunther 15:46, 19. Mai 2005 (CEST)

Nochmal deutlicher: Die derzeitige Definition ist falsch, z.B. mit

$f_{n}(x)={\begin{cases}n&0<x<1/n\\0&\mathrm {sonst} .\end{cases}}$

--Gunther 11:22, 18. Jul 2005 (CEST)

Das Problem scheint noch nicht behoben zu sein. Also habe ich mal etwas ergänzt.--UrsZH 15:23, 28. Sep 2005 (CEST)

Hat sich eigentlich damit der Überarbeiten-Baustein erledigt? Oder war da noch etwas anderes?--UrsZH 16:45, 2. Okt 2005 (CEST)

Ich denke, das war der Punkt, der mich störte.--Gunther 22:00, 2. Okt 2005 (CEST)

charakteristische Funktion nicht Riemann-integrierbar?

Ich sehe einen Widerspruch: Vielleicht kann jemand diesen ausräumen. Also: Q ist lebequesche Nullmenge. also ist doch die Menge der Unstetigkeitsstellen der charakteristischen Funktion (x=1 für x aus Q; x=0 sonst; Beispiel unten) eine Lebequesche Nullmenge. Das ist für mich ein Widerspruch zu dem Lebequeschen Integralitätskriterium, welches doch aussagt, dass eine Funktion, die Lebeque-integrierbar und fast überall stetig ist, auch Riemann-integrierbar ist.

Nein. Die Menge der Unstetigkeitsstellen von $\chi _{\mathbb {Q} }$ ist ganz $\mathbb {R}$, also keine Nullmenge. Sie ist nämlich auch in den irationalen Stellen nicht stetig: Sei etwa $x\in \complement _{\mathbb {R} }\mathbb {Q}$, setze $\varepsilon :=1/2$, für jedes $\delta >0$ existiert $y\in \mathbb {Q} \cap (x-\varepsilon ,x+\varepsilon )$, da die rationalen Zahlen dicht liegen, es ist also $|x-y|<\delta$, aber $|f(x)-f(y)|=|0-1|=1>\varepsilon$, i.e. die Funktion ist in $x$ unstetig. HTH 160.45.45.233 8. Jul 2005 16:12 (CEST)

Lebesgue-Integral

Der Hauptgrund für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals liegt darin, dass man bezüglich der Integral-Halbnorm vollständige Funktionenräume benötigt. Mit "Integral-Halbnorm" ist hier das Integral des Betrages einer Funktion gemeint. Die Vollständigkeit dieser Funktionenräume und die hieraus resultierenden Konvergenzsätze bilden die Basis der Funktionalanalysis. Die Konstruktion des Lebesgue-Integrals über die Maßtheorie ist höchst umständlich, und so genau versteht man auch nicht, was die ganze Konstruktion eigentlich soll. Es gibt aber einen sehr einfachen Zugang, welcher das Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger zum Ausgangspunkt nimmt und dieses lineare Funktional dann stetig bezüglich einer "oberen Integral-Halbnorm" fortsetzt. Der Abschluss der stetigen Funktionen in den BANACHRAUM aller Funktionen mit endlicher oberer Integral-Halbnorm ist dann selber (trivialerweise) vollständig, und die Fortsetzung des Ausgangsfunktionals auf diesen Abschluss ist das Lebesgue-Integral. So einfach gehts, und die Studenten, die mit wochenlangen Konstruktionen von Maßen verschont werden und stattdessen Anwendungen lernen, dürfen sich glücklich schätzen

Steckt die Technik dann nicht in dieser "oberen Integral-Halbnorm"? Denn im Endeffekt erhält man ja in jedem Fall einen Raum L¹, der die charakteristische Funktion einer Menge genau dann enthält, wenn sie messbar mit endlichem Maß ist.--Gunther 11:47, 10. Sep 2005 (CEST)

Für die Einführung des Lebesgue-Integrals gibt es verschiedene Philosophien. Vom Standpunkt der Funktionalanalysis ist es sicher am einfachsten, das Lebesgue-Integral als Fortsetzung des Riemann-Integrals auf einen Banachraum zu definieren, aber dies ist nicht der einzige Grund für die Konstruktion des Lebesgue-Integrals. Das Integral spielt auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle (dort heißt es Erwartungswert), wo Integrierbarkeit beliebiger beschränkter messbarer Funktionen und direkte Konvergenzaussagen (monotone/dominierte Konvergenz) wichtiger sind als Vollständigkeit. Man geht dort ohnehin von Maßen aus, und stetige Funktionen mit kompaktem Träger erscheinen dann als Umweg.--133.5.161.2 10:21, 20. Sep 2005 (CEST)

Formulierung

Kann man wirklich sagen, das L-Integral sei der moderne Integralbegriff? Oder sollte man sagen ein moderner Integralbegriff? Ich bin mir nicht sicher, aber es gibt doch bestimmt noch andere Integralbegriffe? :-) --134.130.244.140 11:53, 28. Jan 2006 (CET)

Ich habe "der moderne Integralbegriff" geschrieben, weil es sich um den maßtheoretischen Integralbegriff handelt, der heute in vielen Bereichen der Mathematik, z.B. Funktionalanalysis (Lp-Räume, Variationsrechnung) oder Wahrscheinlichkeitstheorie (Erwartungswert) verwendet wird, da er die erforderlichen Konvergenzeigenschaften besitzt, die etwa dem Riemann-Integral fehlen. Ich denke, zumindest was die Integration in den reellen Zahlen (Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$) angeht, ist es durchaus angebracht, von dem modernen Integralbegriff zu sprechen. Allerdings bin ich zugegebenermaßen nicht gerade ein Spezialist auf dem Gebiet und weiß nicht viel über alternative Integralkonzepte. Grüße, --RSchlicht (133.5.161.2) 09:08, 2. Feb 2006 (CET)

Schauder

Wenn ich ein wenig Zeit finde, werde ich den Artikel mal sortieren, die Sätze in eigene Artikel auslagern, stattdessen Beispiele geben. Ich schreibe das nicht so sehr als Ankündigung; wenn ich nicht dazu komme oder es vergesse, hat der Artikel das trotzdem nötig. igel+- 08:18, 13. Jul 2006 (CEST)

"Fälschlicherweise"

da steht "(nicht! Treppenfunktion)" - was soll denn das, bitteschön! Mathematiker sind doch gerade dafür berühmt, Dinge je nach Wetterlage verschieden zu benennen. Es gibt keine "richtige" Bezeichnung, nur mehr oder minder verbreitete. igel+- 21:49, 16. Aug 2006 (CEST)

Überarbeitung

Hat jemand etwas dagegen, wenn ich den Artikel dahingehend etwas überarbeite, dass er für einen Laien verstädnlicher und informativer wird? Ich habe den Eindruck, dass einiges an Erläuterungen und Kommentaren fehlen und der Artikel in der jetzigen Form zwar mathematisch korrekt, aber ohne mathematische Vorbildung kaum verständlich ist.

Niemand hat etwas dagegen. igel+- 19:21, 10. Sep 2006 (CEST)

Vergleich Riemann/Lebesgue

Der Vergleich zwischen uneigentlich-Riemann und Lebesgue ist schief. Die Konstruktion des Limes von Integralen über beschränkte Intervalle gibt es in der Lebesgue-Theorie ganz genauso, beispielsweise bei der Fouriertransformierten allgemeiner L²-Funktionen.--Gunther 13:13, 4. Okt 2006 (CEST)

Konvergenz von Bippo Levi

Gehört nicht noch in die Voraussetzung, dass das Lebesgue-Integral der Funktionen-Folge beschränkt ist? Ansonsten muss das Integral ja keinen endlichen Wert annehmen, da wir ansonsten lediglich Monotonie fordern.