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Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus und damit Area-Funktionen .
Schreibweisen:
y
=
a
r
t
a
n
h
(
x
)
{\displaystyle y=artanh(x)}
y
=
a
r
c
o
t
h
(
x
)
{\displaystyle y=arcoth(x)}
Definition
Areatangens Hyperbolicus
Areakotangens Hyperbolicus
a
r
t
a
n
h
(
x
)
:=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
{\displaystyle {\rm {artanh}}(x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
a
r
c
o
t
h
(
x
)
:=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\rm {arcoth}}(x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\;;\;|x|>1}
Geometrische Definitionen
Geometrisch lässt sich der Areatangens Hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung
(
x
,
y
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x,y)=(0,0)}
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
(
x
,
−
y
)
=
(
x
,
−
x
2
−
1
)
{\displaystyle (x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
(
x
,
y
)
=
(
x
,
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle (x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
A
=
a
r
t
a
n
h
(
y
x
)
{\displaystyle A={\rm {artanh}}\left({\frac {y}{x}}\right)}
Eigenschaften
Graph der Funktion artanh(x) Graph der Funktion arcoth(x)
Areatangens Hyperbolicus
Areakotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle -1<x<1}
−
∞
<
x
<
−
1
{\displaystyle -\infty <x<-1}
1
<
x
<
∞
{\displaystyle 1<x<\infty }
Wertebereich
−
∞
<
f
(
x
)
<
∞
{\displaystyle -\infty <f(x)<\infty }
−
∞
<
f
(
x
)
<
∞
;
x
≠
0
{\displaystyle -\infty <f(x)<\infty \;;\;x\neq 0}
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
streng monoton fallend
Symmetrien
ungerade Funktion:
a
r
t
a
n
h
(
−
x
)
=
−
a
r
t
a
n
h
(
x
)
{\displaystyle {\rm {artanh}}(-x)=-{\rm {artanh}}(x)}
ungerade Funktion:
a
r
c
o
t
h
(
−
x
)
=
−
a
r
c
o
t
h
(
x
)
{\displaystyle {\rm {arcoth}}(-x)=-{\rm {arcoth}}(x)}
Asymptote
f
(
x
)
→
∞
{\displaystyle f(x)\to \infty }
x
→
0
+
{\displaystyle x\to 0^{+}}
f
(
x
)
→
0
{\displaystyle f(x)\to 0}
x
→
±
∞
{\displaystyle x\to \pm \infty }
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Reihenentwicklung
Die Taylorreihen :
Areatangens Hyperbolicus
Areakotangens Hyperbolicus
a
r
t
a
n
h
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
x
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
=
x
+
1
3
x
3
+
1
5
x
5
+
⋯
{\displaystyle {\rm {artanh}}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)}}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+\cdots }
a
r
c
o
t
h
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
1
(
2
k
+
1
)
∗
x
2
k
+
1
{\displaystyle {\rm {arcoth}}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)*x^{2k+1}}}}
a
r
c
o
t
h
(
x
)
=
1
x
+
1
3
x
3
+
1
5
x
5
+
1
7
x
7
+
…
{\displaystyle {\rm {arcoth}}(x)={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots }
Ableitung
d
d
x
a
r
t
a
n
h
(
x
)
=
1
x
2
−
1
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {artanh}}(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}\,;\quad |x|<1}
d
d
x
a
r
c
o
t
h
(
x
)
=
1
1
−
x
2
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\rm {arcoth}}(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1}
Integral
Die Stammfunktionen lauten:
∫
a
r
t
a
n
h
(
x
)
d
x
=
x
⋅
a
r
t
a
n
h
(
x
)
+
1
2
ln
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle \int {\rm {artanh}}(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot {\rm {artanh}}(x)+{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{2})}
∫
a
r
c
o
t
h
(
x
)
d
x
=
x
⋅
a
r
c
o
t
h
(
x
)
+
1
2
ln
(
x
2
−
1
)
{\displaystyle \int {\rm {arcoth}}(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot {\rm {arcoth}}(x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)}
Siehe auch
Vorlage:Navigationsleiste Hyperbolische Funktionen
