Taylorreihe

In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen anzunähern. Die Taylorreihe (oder Taylor-Reihe) einer Funktion $f$ an der Stelle x₀ ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor.

Definition

Ist I ein reelles Intervall und f: I -> R eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion, dann heißt für x₀ aus I die unendliche Reihe

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2}}(x-x_{0})^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}+\ldots$

$=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

die Taylor-Reihe von f mit Entwicklungspunkt x₀.

Hierbei bezeichnet f⁽ⁿ⁾(x₀) die n-te Ableitung von f an der Stelle x₀ (mit f⁽⁰⁾ := f) und n! = 1 &middot 2 · ... · n die Fakultät von n.

Die Partialsummen der Taylorreihe bezeichnet man als Taylorpolynome, und die Taylor-Formel macht eine Aussage über ihre Abweichung (das Restglied) von der Funktion f.

Eigenschaften

Die Taylorreihe ist eine Potenzreihe in x. Allgemein muss sie weder einen positiven Konvergenzradius haben noch muss sie in ihrem Konvergenzbereich mit f übereinstimmen.

Die Taylorreihe konvergiert genau für diejenigen x aus I gegen f(x), für die das Restglied R_k(x) gegen 0 konvergiert.

Ist f selbst eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt a, dann stimmt die Taylorreihe mit dieser Potenzreihe überein.

Die Taylorpolynome sind Partialsummen der Taylorreihe, und wenn die Taylorreihe gegen f konvergiert, dann sind höhere Taylorpolynome automatisch bessere Näherungen, da ihre Restglieder kleiner sind. Für analytische Funktionen gibt es um jeden Wert von x stets eine Umgebung, in der diese Bedingung erfüllt ist.

Beispiele

Betrachte die Funktion

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{für }}x\leq 0\\\mathrm {e} ^{-1/x^{2}}&{\mbox{für }}x>0\end{cases}}$

Als reelle Funktion ist f unendlich oft stetig differenzierbar, wobei die Ableitungen im Punkt x=0 ausnahmslos 0 sind. Allerdings ist sie nicht analytisch. Die Taylorreihe um den Nullpunkt ist also die Nullfunktion, und stimmt in keiner Umgebung der 0 mit f überein. Die Taylorreihe um einen Punkt a ungleich 0 konvergiert zwischen 0 und 2a gegen f. Auch mit einer Laurentreihe lässt sich diese Funktion nicht approximieren, weil die Laurentreihe, die die Funktion für x>0 korrekt wiedergäbe, für x<0 nicht konstant 0 ergibt.

Viele bekannte Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen, die dann gleichzeitig Taylorreihen der Funktion sind. Zum Beispiel gilt für alle reellen Zahlen x:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} }

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

Für -1 < x <= +1 gilt:

$\log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}$

Diese Formel ist jedoch für praktische Rechnungen ungeeignet. Schneller konvergiert diese Reihe für -1 < y < +1:

$\log(y)=\log \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}},\quad x:={\frac {y-1}{y+1}}$.