Fermat-Zahl

Eine Fermatsche Primzahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Primzahl der Form

$F_{n}=2^{2^{n}}+1,$

wobei n eine natürliche Zahl ist. Es sind nur fünf Fermatsche Primzahlen bekannt: 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) und 65537 (n=4). Man weiß nicht, ob es noch weitere solcher Primzahlen gibt und es ist auch nicht bekannt, ob ihre Anzahl endlich ist.

Carl Friedrich Gauss zeigte, dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen gibt: Eine regelmäßiges Vieleck mit n Seiten kann nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 und bestimmten Fermatschen Primzahlen ist.

Natürliche Zahlen der Form

$2^{2^{n}}+1$

heißen Fermatsche Zahlen. Fermat vermutete, dass alle solche Zahlen Primzahlen sind, wurde aber widerlegt, als Leonhard Euler 1732 zeigte, dass schon die fünfte solche Zahl zusammengesetzt ist:

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417\;$

Zwei Fermatsche Zahlen sind zueinander relativ prim.

Weblinks

• [[1]] Seite auf englisch