Skalarprodukt

Die in diesem Artikel verwendeten Symbole werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.

Vektoren werden im laufenden Text dieses Artikels zur Unterscheidung von Skalaren einheitlich in Fettdruck dargestellt.

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Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist eine reelle Zahl, die sich aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von diesen eingeschlossenen Winkels gemäß der Formel

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}:=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \cos \angle \left({\vec {a}},{\vec {b}}\right)$

berechnet.

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, die Länge eines Vektors und den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen.

Von einem abstrakteren Standpunkt betrachtet, ist das Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines Euklidischen Raums - oder allgemeiner, eines reellen Vektorraums - eine reelle Zahl zuordnet. Eine Verallgemeinerung, die für Vektorräume über beliebigen Skalarkörpern definiert ist, heißt inneres Produkt: siehe dazu den Artikel Innenproduktraum.

Abgrenzung zu anderen Produkten

Das Skalarprodukt ist von mehreren anderen Produkten zu unterscheiden, die in einem Vektorraum V über einem Körper K definiert sein können:

• Das Skalarprodukt ist eine Funktion von V×V nach K.

• Das äußere Produkt, auch skalare Multiplikation genannt, das in jedem Vektorraum definiert sein muss, ist eine Funktion von K×V nach V.

• Wenn der Vektorraum die Dimension 3 hat, kann man ferner ein Vektorprodukt, auch Kreuzprodukt genannt, definieren, das eine Funktion von V×V nach V ist. (In höherdimensionalen Räumen hat man eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts, das dann mehr als zwei Vektoren verknüpft.)

• Das Spatprodukt in einem dreidimensionalen Raum schließlich entsteht durch Verknüpfung von Skalar- und Vektorprodukt; es ist eine dreistellige Funktion von V×V×V nach K.

Notation

Das Skalarprodukt wird im deutschen Sprachraum in aller Regel mit einem Punkt als Multiplikationszeichen geschrieben: x·y.

Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können; das ist insbesondere in Texten der Fall, in denen Vektoren durch Vektorpfeile, durch Fettdruck oder durch Unterstreichen kenntlich gemacht sind und daher nicht mit Skalaren verwechselt werden können:

x·y = xy ist ein Skalarprodukt,

ax dagegen ist ein äußeres Produkt.

Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum

Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen der analytischen Geometrie im Euklidischen Raum eingeführt worden. Um die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts zu erklären, betrachten wir den dreidimensionalen affinen Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem.

Ein Punkt A besitze die Koordinaten (a₁, a₂, a₃). Diese Koordinaten kann man auch als Komponenten eines Ortsvektors ${\overrightarrow {OA}}$ auffassen, der vom Ursprung O nach A zeigt. Der Abstand des Punktes A vom Ursprung, oder äquivalent die Länge des Vektors ${\overrightarrow {OA}}$, ist nach dem Satz des Pythagoras

${\overline {OA}}=\left|{\overrightarrow {OA}}\right|=|{\vec {a}}|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}$.

Den Ausdruck unter der Wurzel fassen wir nun als skalarwertiges Produkt des Vektors ${\overrightarrow {OA}}$ mit sich selber auf: wir definieren also das Skalarprodukt als Summe über die Produkte der Vektorkomponenten:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}:={a_{1}}{b_{1}}+{a_{2}}{b_{2}}+{a_{3}}{b_{3}}$.

Damit gilt für die Länge eines Vektors

$|{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}$,

was eine erfreuliche Analogie zum Absolutbetrag einer reellen Zahl

$|a|={\sqrt {a^{2}}}={\sqrt {a\cdot a}}$

aufweist; tatsächlich kann man die Länge eines Vektors und den Absolutbetrag einer Zahl unter dem allgemeineren Begriff der Norm zusammenfassen.

Man rechnet leicht nach, dass das so eingeführte Skalarprodukt tatsächlich die typischen Eigenschaften einer multiplikativen Verknüpfung hat: es gelten insbesondere das Distributivgesetz und damit auch die binomischen Formeln.

Wir betrachten nun ein Dreieck ABC im affinen Raum und finden unter Verwendung der binomischen Formel:

${\overline {AC}}^{2}={\overrightarrow {AC}}^{2}={({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}})}^{2}={\overrightarrow {AB}}^{2}+2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+2{\vec {AB}}\cdot {\vec {BC}}+{\overline {BC}}^{2}$.

Durch Vergleich mit dem Kosinussatz finden wir

${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot \cos \angle ABC$.

Damit hat das Skalarprodukt eine geometrische Deutung: es ist das Produkt der Länge zweier Vektoren, gewichtet mit dem Kosinus des von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkels. Dieser Kosinus ist ein Maß für die Parallelität der beiden Vektoren: er ist 1, wenn die Vektoren richtungsgleich sind; -1, wenn die Vektoren einander entgegengerichtet sind; und 0, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Komponentenweise Berechnung

Ausgehend von den vorstehenden Überlegungen und Begriffsbildungen arbeitet sich die lineare Algebra zu der Erkenntnis vor, dass man jeden Vektor als Linearkombination aus orthonormalen Basisvektoren darstellen kann,

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ...

Daraus ergibt sich, dass man das Skalarprodukt, in Übereinstimmung mit der "naiven" Definition, koeffizientenweise ausrechnen kann:

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {xy} ={\overline {x_{1}}}y_{1}+{\overline {x_{2}}}y_{2}+\ldots$,

wobei der Überstrich wieder für die komplexe Konjugation steht.

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum berechnet man also das Skalarprodukt von zwei Spaltenvektoren zum Beispiel als

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36.$

Bei unendlichdimensionalen Räumen muss man zwischen einer Orthonormalbasis und einer Basis im Sinne der linearen Algebra unterscheiden, die zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt wird.

Anwendung

In der Physik sind etliche Größen, zum Beispiel die Arbeit, durch Skalarprodukte definiert.