Diskussion:Stellenwertsystem

Die Abbildung ist meiner Meinung nach immer bijektiv! Oder kennst Du einen Fall, inder sie nur injektiv ist, Flups? Abgesehen davon sollte der Link nicht auf eine Begriffsklärunsseite führen! --Coma 18:50, 29. Apr 2003 (CEST)

Diskussion zur Namensgebung dieses Artikels verschoben nach Diskussion:Stellenwertsystem/p-adische Zahlen. --SirJective 12:58, 21. Nov 2003 (CET)

Verzeiht, wenn ich hier eine alte Diskussion aufwärme, aber die momentane Abgrenzung von b-adisch gegen p-adisch suggeriert für mein Gefühl, dass der Unterschied im Namen der Basis liegt. Hier sollte Klärung geschaffen werden (der Unterschied liegt mehr oder weniger im verwendeten Konvergenzbegriff; für "beidseitig abbrechende" Zahlen gibt es keinen Unterschied).-- Gunther 17:09, 8. Apr 2005 (CEST)

Ist denn b-adisch überhaupt quellenmäßig gesichert? Schließlich heißen die ersten Varianten binär (oder dual), ternär und später octal, dezimal usw. während die p-adischen manchmal explizit dyadisch, triadisch usw. heißen. Sinnvoll wäre daher wohl n-äres System (oder n-ales?), vgl. engl n-ary (was ich allerdings eher aus dem Zusammenhang n-ary relation = n-stellige Relation kenne).

Hallo Coma, ich hoffe, meine Aenderung (Unterschied zwischen endlicher und unendlicher Darstellung) ist als erste Version zu gebrauchen. Bin ueber eventuelle Verbesserungen der Darstellung stets erfreut. --SirJective 11:18, 14. Nov 2003 (CET)

Das ist so erstmal inhaltlich in Ordnung. Ich hätte das mit den Mathematikern anders formuliert. Ein Mathematiker kann ja auch beide Auffassungen haben und unterscheidet dann den Darstellungsbegriff. Es würde auch reichen, wenn man von endlicher oder unendlicher Darstellung spricht. --Coma 13:22, 14. Nov 2003 (CET)

Warum wird die Formel als $\sum _{i=0}^{n}f(a_{i})\cdot b^{i}$ und nicht als $\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}$ angegeben? Welchen Wert hat es, die Mantisse als Funktion zu betrachten?

Die a_i sind Ziffern, also Symbole, keine Zahlen. Die Abbildung f ordnet jeder Ziffer a_i ihren Zahlenwert f(a_i) zu. Die Zeichenkette "12" ist eine Ziffernfolge, der erst durch eine Definition ein Zahlenwert zugeordnet werden muss. Einigen wir uns auf das Dezimalsystem, dann bedeutet diese Zeichenkette die Zahl f(1)*10 + f(2)*1 = 1*10 + 2*1 = 12. Genausogut könnten wir aber die Ziffern n,e,z,d,v,f,s,S,a,N für die Zahlen 0 bis 9 verwenden. Die Zeichenkette "ez" hätte dann im Dezimalsystem den Zahlenwert 12. Bei einer anderen Zuordnung von Ziffern zu Zahlenwerten würde diese Zeichenkette eine andere Zahl bezeichnen. Klar geworden? :-) --SirJective 21:12, 23. Okt 2004 (CEST)

Es überzeugt mich nicht ganz. Was ist f? Keine Funktion, denn Symbole sind keine Objekte. Was ist eine Zifferndarstellung? Entweder eine Folge von Symbolen, also eine Formel des formalen Systems, oder eine Folge als mathematisches Objekt, und dann kann man als Ziffern auch einfach die Zahlen 0,...,b−1 nehmen.--Gunther 18:56, 27. Apr 2005 (CEST)

Die Unterscheidung zwischen den Ziffernsymbolen und den Ziffernwerten via f ist durchaus sogar von praktischer Bedeutung, etwa in der Programierung, wo die Symbole ASCII-Zeichen sind und man nicht vergessen darf, erst '0' abzuziehen, hier ist also f(c)=c-'0'.--Hagman 22:56, 23. Mär. 2007 (CET)Beantworten

Es gibt doch ein Optimum zwischen der Anzahl der Symbole in einem System und der Anzahl Stellen, die man braucht um eine beliebige Zahl x darzustellen. Evtl. passt das gut hierher --Heliozentrik 18:34, 27. Apr 2005 (CEST)

Mir ist nicht klar, wie dieses Optimum erklärt sein soll. Kannst du das näher erläutern? --SirJective 18:44, 27. Apr 2005 (CEST)

Frage: gibt es ein Stellenwertsystem, in dem es möglich ist eine beliebige Zahl x mit der kleinstmöglichen Anzahl von Symbolen und der kleinstmöglichen Anzahl Stellen darzustellen ?

Dass beide Forderungen kokurrieren ist ja klar. Kann es sein, dass das gesuchte System die Basis e hat? --Heliozentrik 19:02, 27. Apr 2005 (CEST)

Kannst Du präzisieren, was Du Dir vorstellst? Jede Zahl x hat in jedem System zu einer Basis größer als x eine einstellige Darstellung. Meinst Du also eine Art Erwartungswert?--Gunther 19:12, 27. Apr 2005 (CEST)

Nochmal anders gesagt, welches Stellenwertsystem hat für eine beliebige Zahl x zugleich die kleinste Anzahl Symbole UND die kleinste Anzahl Stellen?--Heliozentrik 19:32, 27. Apr 2005 (CEST)

Meinst Du mit "UND" vielleicht "plus"? Denn ansonsten ist die Antwort: in der Regel keines. Denn die kleinste Anzahl Symbole hat das Zweier- oder notfalls Einersystem, die wenigsten Stellen ergibt eine große Basis.--Gunther 19:46, 27. Apr 2005 (CEST)

genau. Existiert ein Stellenwertsystem S zur Basis b in dem eine beliebige Zahl x mit der Anzahl Stellen a dargestellt wird und für das gilt b + a -> MIN .

Ich frage deshalb so blöd, weil ich nicht sehe, warum b + a in irgendeiner Weise "besser" ist als 2a + b oder ab oder sonst irgendein Ausdruck, der monoton in beiden Variablen ist.

Also: Eine Zahl x hat im System zur Basis b genau

a=\left\lfloor {\frac {\log x}{\log b}}\right\rfloor +1

Stellen. Ignoriert man die Abrundung, so hat die Funktion b + a für festes x ein Minimum für

b(\log b)^{2}=\log x,

d.h. für große

x

wird das optimale

b

ebenfalls groß.--Gunther 10:11, 28. Apr 2005 (CEST)

Man könnte noch sagen, dass sich jede ganze Zahl auch in $(-B)$ -adischer Darstellung eindeutig schreiben lässt.

Darstellung irrationaler Zahlen

In der Fortentwicklung der Texte zur Darstellung rationaler u. reeller Zahlen sind folgende Gesichtspunkte für mich mittlerweile leider etwas diffus verschwommen:

Rationale Zahlen haben immer eine periodische Entwicklung (ein Spezialfall der periodischen ist die endlich abbrechende Entwicklung).
Irrationale Zahlen haben immer eine nichtperiodische Entwicklung; nicht notwendigerweise jedoch eine, die man nicht auf endliche Weise notieren kann! Z.B. könnte man für die Zahl $0{,}101001000100001000001....$ eine der Periodennotation ähnliche Notationsschreibweise kreieren, die diese Zahl endlich "notieren" könnte.--JFKCom 18:44, 3. Jan 2006 (CET)

Ist es jetzt besser? --Koethnig 23:31, 3. Jan 2006 (CET)

Ja, damit kann ich leben.--JFKCom 00:31, 4. Jan 2006 (CET)

Aus dem Review

Wollte euere Meinung mal dazu hören, was fehlt noch und wird nicht in anderen Artikel besprochen? --Coma 01:50, 21. Dez 2005 (CET)

Etwas anderes: Wie schon auf der Diskussionsseite gesagt, überzeugt mich der Standpunkt "Ziffern sind Symbole" nicht:

Was ist f? Jedenfalls keine Funktion (Mathematik), denn die Argumente sind ja Symbole, keine mathematischen Objekte (= Mengen).
Was ist 0,999...? Eine unendlich lange Formel?

--Gunther 14:06, 21. Dez 2005 (CET)

Natürlich sind Symbole auch Objekte die man in Mengen organisieren kann. --Coma 14:41, 21. Dez 2005 (CET)

0,999... ist das, was im Text auch steht eine unendlich lange Folge. --Coma 14:45, 21. Dez 2005 (CET)

Ja Gunther, f ist keine Funktion im ZFC-Sinne (aber Mathematik ist nicht nur ZFC). Was Ziffern sind, sollte eigentlich in den Artikeln Ziffer und Zahlzeichen erklärt werden, gestützt vom Artikel Symbol.

Im Artikel Alphabet (Informatik) wird das Dezimalsystem als Beispiel einer formalen Sprache angegeben: Die Ziffern 0 bis 9 bilden das endliche Alphabet, und alle endlichen Zeichenketten über diesem Alphabet bilden die Sprache der natürlichen Dezimalzahlen (mit führenden Nullen).

Zahldarstellungen in einem Stellenwertsystem sind keine (mathematischen) Formeln, sondern Wörter einer formalen Sprache, und die Sprache der b-adischen Darstellung rationaler oder reeller Zahlen umfasst - im Gegensatz zur üblichen Definition einer formalen Sprache in der theoretischen Informatik - auch unendlich lange Wörter.

Wir können dieses Vorgehen formalisieren, indem wir eine Mengenlehre nutzen, die die benötigten Zeichen als Urelemente enthält (zu denen haben wir leider noch keinen Artikel, ich hab nur Nichtmenge gefunden).

--SirJective 20:17, 21. Dez 2005 (CET)

Irgendwie sehe ich den Vorteil dieses ganzen Ansatzes nicht. Für alle mathematischen Zwecke sind die natürlichen Zahlen

0,\ldots ,b-1

als "Ziffern" völlig ausreichend. Wozu jetzt an den Grundlagen rumbasteln und Urelemente einführen? Wer macht das überhaupt so? Noch nirgendwo habe ich jedenfalls die Aussage gesehen, dass die letzte Dezimalziffer einer natürlichen Zahl nicht

n{\bmod {1}}0

, sondern

f^{-1}(n{\bmod {1}}0)

ist.--Gunther 20:55, 21. Dez 2005 (CET)

Also ich versuchs nochmal. :-) Im Prinzip hast du Recht. Statt den Symbolen kann man nat. auch direkt die nat. Zahlen nehmen. Dann braucht man keine Abbildung von Symbolen auf diese. Allerdings geht es ja hier um die Darstellung von Zahlen. Um etwas darzustellen, braucht man Symbole. Die sind beliebig austauschbar. Ihre Semantik erhalten sie über die Zuordnung f. Imho ist das über eine Metaebene auch so möglich, dass das mit ZFC geht und f tatsächlich eine Funktion ist. Man muss hier also zwei Ebenen sehen. Die semantische und die, der Darstellung. Die Erklärung mit f hat den Vorteil, das der Leser lernt zwischen den Symbolen 0 ... 9 und den Zahlen 0 ... 9 zu unterscheiden. --Coma 21:16, 21. Dez 2005 (CET)

Natürlich kann man das immer soweit runterdrücken, dass es echte Funktionen werden. Nur eigentlich will ich halt nicht das übliche Setting verlassen, nur um über die Dezimaldarstellung einer Zahl sprechen zu können; zumindest für die mathematischen Aspekte ist das eben auch nicht nötig (Bijektion zwischen reellen Zahlen und Dezimaldarstellungen, Teilbarkeitsregeln).

Als Lösung würde ich vorschlagen, die formal-sprachlichen und die im engeren Sinne mathematischen Aspekte voneinander zu trennen, d.h. einerseits die Beziehung zwischen Abbildungen

\mathbb {Z} \to \{0,\ldots ,b-1\}

(+Vorzeichen) und Folgen von Symbolen, andererseits die Beziehung zwischen Abbildungen

\mathbb {Z} \to \{0,\ldots ,b-1\}

und Zahlen.--Gunther 22:30, 21. Dez 2005 (CET)

Schau mal, ob du dich mit der Änderung mehr anfreunden kannst... --Koethnig 14:54, 28. Dez 2005 (CET)

Ist auf jeden Fall besser, aber ich finde, die Möglichkeit, die Darstellung als Folge von Zahlen aus

\{0,\ldots ,b-1\}

aufzufassen, sollte nicht ganz fehlen (Stichwort Quersumme). Man könnte sich noch überlegen, ob man durch konsequente Verwendung des Begriffes "Wort" vielleicht die Verwirrung, ob die Folgen jetzt von rechts nach links oder umgekehrt geschrieben werden, vermindern kann; außerdem könnte man p-adische Zahlen erwähnen.--Gunther 01:25, 29. Dez 2005 (CET)

Ich rück jetzt mal wieder etwas weniger ein :-). Zum ersten Punkt: Wie wäre es mit einem Satz: "In der Mathematik ist es üblich die Symbole für die Ziffern direkt mit einer Zahl aus {0,...b-1} zu identifzieren". Zum zweiten Punkt: Willst du "Wort" bei der Symbolfolge und "Folge" bei der Zahlenfolge verwenden? Da müsste man den Begriff "Wort" vermutlich noch erklären. Zum dritten Punkt: Die p-adischen Zahlen sind ja nun doch noch was anderes. Und in der Einleitung wird ja schon prominent drauf verwiesen. Muss da wirklich noch was dazu in den Artikel? Am besten du setzt mal selber deine Vorstellungen im Artikel um, dann muss ich nicht soviel raten... :-) --Koethnig 04:28, 29. Dez 2005 (CET)

Ich habe die Einleitung entsprechend geändert und warte erstmal die Proteste ab :-) --Gunther 01:07, 3. Jan 2006 (CET)

Damit kann ich gut leben, damit lässt sich auch die "unendliche Darstellung" unten vielleicht etwas leichter einordnen. Gibts noch mehr zu bemängeln? --Koethnig 02:00, 3. Jan 2006 (CET)

Insgesamt beschäftigt sich der Artikel hauptsächlich mit der trivialen Richtung "Zifferndarstellung → Zahl" und erwähnt eher am Rande, dass das weitgehend bijektiv ist. Die wesentlichen Punkte stehen natürlich in Zahlbasiswechsel, aber dieser Artikel hat wiederum eine etwas andere Sichtweise. Ich weiß nicht, wie weit man das ausbreiten sollte, aber irgendetwas in der Richtung

n-b\lfloor n/b\rfloor

und den Zusammenhang zu Restklassen modulo

b^{k}

würde nicht schaden. Oder steht das schon woanders?--Gunther 02:19, 3. Jan 2006 (CET)

Hmm, in der Einleitung ist ja jetzt schon von zwei Betrachtungsweisen die Rede. Was hälst du davon deine Betrachtungsweise in einen eigenen Abschnitt zu packen (der sollte dann möglichst als ersten auftauchen). Die Ausführungen zu deiner Betrachtungsweise dürfte imho ja nicht so lang werden, wie die andere. Ich würde dann die andere (also alles ab Ziffer) noch entsprechend anpassen. --Koethnig 15:13, 5. Jan 2006 (CET)

Das Problem dabei ist, dass die "innermathematische" Betrachtungsweise weniger leicht zugänglich ist. Als Einstieg ist sie abschreckend, als Nachtrag wenig erhellend. Sie über den Text zu verteilen, ist auch kaum praktikabel, weil sie vom Niveau her nicht dazu passt. Ich glaube, es ist besser, es bei dem kurzen Hinweis in der Einleitung zu belassen; das zu formalisieren, kann man den ausreichend vorgebildeten Lesern selbst überlassen.

Die oben noch genannten Punkte habe ich als kleine Formelsammlung ergänzt.--Gunther 03:02, 16. Jan 2006 (CET)

Lesenswert-Diskussion

Im Review kam nicht mehr viel, deshalb versuch ich es hier nochmal. Als Autor enthalte ich mich. --Koethnig 04:01, 16. Jan 2006 (CET)

Pro Mir gefällt's. --Udq8 14:14, 16. Jan 2006 (CET)
Grundsätzlich pro, schöner Theorieartikel. Ich habe in der Einleitung bei den Beispielen noch mal die b-adisch-Form wiederholt, weil sonst m.E. der Zusammenhang etwas fehlt. Vielleicht könnte man noch erwähnen, das die -adisch-Vorsilben griechisch sind und die gebräuchlichere Variante (dual, dezimal...) lateinisch. Was für den Laien bestimmt schwer verständlich ist, ist der Unterschied zwischen Ziffer und Zahl. Eventuell könnte man hier das Hexadezimal-Beispiel nach oben nehmen, da es dort am besten klar wird (Ziffer A = Zahl 10). So ganz oma-tauglich ist es imho noch nicht, aber trotzdem gut.--Wiggum 20:15, 16. Jan 2006 (CET)
pro stark laiengeprägt, aber fachlich verlass ich mich auf koethnig, ich als ahnungsloser finde den artikel relativ gut verständlich und an mangelnden stimmabgaben soll es dann nicht scheitern. -- southpark Köm ?!? 21:03, 21. Jan 2006 (CET)
pro --Andreas ?! 19:12, 22. Jan 2006 (CET)
pro - Kleine Anregung: das Hexadezimal-Beispiel vielleicht nicht gerade mit der Ziffer B nehmen; es könnte beim Verständnis zu Komplikationen mit dem b-adischen System kommen (hab das übrigens in der Einleitung fett und kursiv gesetzt). Ich weiß nicht, wie allgemeingebräuchlich der Begriff Dezimalsystem wirklich ist. Vielleicht könnte man noch darauf hinweisen, dass dies das "normale" System ist, um einem Laien einen ihm bekannten Anhaltspunkt zu geben (sofern er den Artikel überhaupt liest). --Griensteidl 23:48, 22. Jan 2006 (CET)

Hab das Beispiel mal auf C geändert und noch ein "das im Alltag gebräuchliche" hinzugefügt... --Koethnig 04:41, 23. Jan 2006 (CET)

pro - fachlich einwandfrei (soweit ich das als Nichtmathematiker, aber mit 4 Semestern Mathegequälter beurteilen kann), dazu noch verständlich formuliert (besonders die Zuordnung Zahlen <=> Ziffern ist gelungen), ausserdem ist das Layout gut --Henristosch 05:57, 23. Jan 2006 (CET)

Neutral - Der Artikel ist zwar bei dem Teil des Lemmas, den er behandelt sehr gut, aber ich denke der Begriff Stellenwertsystem ist hier nicht allgemein genug erklärt. Es gibt auch Stellenwertsysteme, die nicht b-adisch sind (Bsp: BCD-Zählcode, JEDE Stelle hat den Stellenwert 1). Denkbar wären auch Stellenwertsysteme, bei denen der Stellenwert nicht mit dem Wert der Ziffer multipliziert, sondern dazu addiert wird. Bevor der Artikel für mich als Lesenswert durchgeht, sollte herausgehoben werden, dass b-adische Systeme nur eine (wichtige) Untermenge der Stellenwertsysteme sind. Außerdem sollte in der Einleitung präzise darauf eingegangen werden, was man unter dem Wert einer Stelle versteht. Ich habe gerade nicht viel Zeit, sonst würde ich das übernehmen, so kann ich nur darauf aufmerksam machen. Ich bin mir auch nicht sicher, ob b-adisch eine eindeutige Bezeichnung für Stellenwertsysteme ist, die Stellenwerte haben, die durch eine Basis und natürlich hochgezählte Exponenten gebildet werden. --Supaari ^bla!_bla! 16:47, 7. Jun 2006 (CEST)

Ergänzung: Ich hab gerade doch noch mal im Bronstein (Taschenbuch der Mathematik BSB B.G. Teubner 1979) nachgeschaut. Dort Ist das Stellen- oder Positionssystem genau das, was im Artikel beschrieben steht. Dort steht auch, dass für die Basiszahl Eins kein Positionssystem existiert. Was zu meinem Beispiel BCD-Zählcode einen direkten Widerspruch bildet, es sei denn, man nennt diesen Code nicht Positionsystem. Da dort aber eindeutig jeder Stelle ein Wert zugeordnet ist, denke ich, kann man es schon Stellenwertsystem nennen. Ist nun der Bronstein veraltet oder

Positionsystem = Stellensystem

\not =

Stellenwertsystem ? Oder sind meine Überlegungen Quatsch? --Supaari ^bla!_bla! 17:13, 7. Jun 2006 (CEST)