Quaternion

Die Quaternionen sind eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen. Entdeckt wurden sie 1843 von Sir William Rowan Hamilton und werden oft auch Hamilton-Zahlen genannt. Das Mengensymbol ist $\mathbb {H}$.

Quaternionen sind eine vierdimensionale Divisionsalgebra über dem Körper der reellen Zahlen mit einer nicht kommutativen Multiplikation.

Quaternionen werden formal als x₀ + x₁i + x₂j + x₃k ausgedrückt. (x₀, x₁, x₂, x₃) sind die reellen Realteile der Zahl. (i, j, k) sind die reellen Imaginärteile der Zahl. Quaternionen lassen sich also als Linearkombinationen reeller Koeffizienten mit der Basis <1,i,j,k> darstellen.

Dabei gilt:

ij =  k    jk =  i    ki =  j
ji = -k    kj = -i    ik = -j

i2 = j2 = k2 = -1

Man kann sehen, dass somit z.B. ijk = k² = -1 ist.

Überträgt man die aus den Zahlenkörpern $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ bekannten Operationen + (Addition) und * (Multiplikation) auf $\mathbb {H}$, erhält man einen Schiefkörper.

Arthur Cayley entdeckte, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen.

Die Verallgemeinerung der Quaternionen auf die Dimension 8 wird Cayley-Zahlen oder Oktaven genannt.

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