Euklidische Geometrie

Die Euklidische Geometrie wird auch als Geometrie der Ebene bezeichnet, obwohl sie nicht nur in der Ebene, sondern auch im Raum angewendet werden kann. Sie wurde erstmals von Euklid axiomatisch begründet.

Grundelemente der euklidische Geometrie sind Punkte und Geraden, welche Punkte verbinden. Geraden wiederum schneiden sich in Punkten. Aus diesen Grundelementen entsteht eine Geometrie, in der u.a. Dreiecke, n-Ecke, Winkel und Kreise enthalten sind.

Die fünf Euklidischen Axiome der Geometrie sind:

1. Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
2. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
3. Um jeden Punkt kann man einen Kreis beliebigen Radiuses schlagen.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
5. (Parallelenaxiom): Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind.

Seit der Antike wurde versucht, das 'unbeholfen' erscheinende [Parallelenaxiom]] aus den übrigen Axiomen herzuleiten. Erst im 19. Jahrhundert entdeckten Carl Friedrich Gauss, János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski unabhängig von einander die nichteuklidische und die absolute Geometrie. Erstere ersetzt das Parallelenaxiom durch andere Axiome, letztere arbeitet ganz ohne das Konzept von Parallelen.

Analog entwickelte Leonard Euler die Affine Geometrie durch Herauslassen des 3. und 4. Axioms, welche in der Speziellen Relativitätstheorie (Minkowskiraum) wichtig ist.

Die minimale Geometrie entsteht, wenn man nur das 1. und 2. Axiom verwendet. Die dabei entstehende Geordnete Geometrie ist von Interesse, da ihre Sätze in allen oben genannten Geometrien wahr sind.

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Der folgende Abschnitt ist eher zum Thema 'Axiomatik der Mathematik':

Euklid teilte seine Axiomatik in Axiomengruppen ein, die von einander unabhängig sind (d.h. die Axiome der einen Gruppe lassen sich nicht aus denen der anderen Gruppen herleiten). David Hilbert präzisierte gegen Ende des 19. Jahrhunderts Euklids Axiomatik. Die Axiomgruppen nach Hilbert sind:

1. Axiome der Verknüpfung (Indizenz)
2. Axiome der Anordnung
3. Axiome der Deckungsgleichheit (Kongruenz)
4. Axiom der Parallelen
5. Axiome der Stetigkeit (Archimedisches Axiom)