Bernsteinpolynom

Die Bernsteinpolynome sind eine Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Sergei Natanovich Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven Beweis für den Approximationssatz von Weierstraß angeben. Ende der 1950er Jahre gab es erste Versuche, auf Bernsteinpolynomen basierende Methoden im Design von Kurven und Flächen einzusetzen. Paul de Faget de Casteljau bei Citroën und Pierre Bézier bei Renault legten mit ihren Forschungen den Grundstein des heutigen Computer Aided Design (CAD).

Definition

Für $n\in \mathbb {N} _{0}$ heißen die reellen Polynome

$B_{i,n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {n \choose i}\,t^{i}\,(1-t)^{n-i}$

(mit $0\leq i\leq n$) die Bernsteinpolynome vom Grad $n$.

Durch lineare Transformation (Abbildung des Intervalls $[0,1]$ auf ein beliebiges Intervall $[a,b]$) erhält man die verallgemeinerten Bernsteinpolynome

$B_{i,n}^{[a,b]}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;t\mapsto {\frac {1}{(b-a)^{n}}}{n \choose i}(t-a)^{i}\,(b-t)^{n-i}$.

Dabei bezeichnet

${n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}$

den Binomialkoeffizienten.

Beachte: Diese Definition erklärt eigentlich die den Polynomen zugehörigen Polynomfunktionen.

Beispiel

Die folgende Abbildung zeigt die Bernsteinpolynome $B_{i,4}$, $0\leq i\leq n$ vom Grad $4$:

Bernsteinpolynome sind die Grundlage von Bézierkurven, die bei der computergestützten Beschreibung von Kurven, Flächen und Schriften eine wichtige Rolle spielen.

Eigenschaften

Die Bernsteinpolynome bezüglich des Intervalls $[0,1]$ haben folgende Eigenschaften:

• Basiseigenschaft: Die Bernsteinpolynome $\{B_{i,n}:0\leq i\leq n\}$ sind linear unabhängig und bilden eine Basis von $\Pi _{n}$, dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich n.
• Positivität:

  $B_{i,n}(t)>0$ für alle $t\in (0,1)$.

• Extrema: $B_{i,n}$ besitzt im Intervall $[0,1]$ genau ein (absolutes) Maximum. Es befindet sich an der Stelle $t={\frac {i}{n}}$. Für $i\in \{0,n\}$ erhält man insbesondere

$B_{0,n}(0)=B_{n,n}(1)=1$

• Zerlegung der Eins (auch Partition der Eins):

  $\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}=1$

(Ergibt sich mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes aus $(t+(1-t))^{n}$.)

• Symmetrie:

  $B_{i,n}(t)=B_{n-i,n}(1-t)$

• Rekursionsformel:

  $B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)+t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$, mit der Definition

  $B_{i,n}:=0$ für $i<0$ oder $i>n$

  $B_{0,0}:=1$

• Gradanhebung:

  $B_{i,n}(t)={\frac {i+1}{n+1}}\cdot B_{i+1,n+1}(t)+{\frac {n+1-i}{n+1}}\cdot B_{i,n+1}(t)$

• Ableitungen:

  $B'_{i,n}(t)=n\left[B_{i-1,n-1}(t)-B_{i,n-1}(t)\right]$, mit der Definition

  $B_{-1,n-1},B_{n,n-1}:=0$

Approximation mit Bernsteinpolynomen

Für jede Funktion $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ heißt das durch $B_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}B_{i,n}(t)\cdot f\left({\frac {i}{n}}\right)$ definierte Polynom $B_{n}(f)$ das „n-te Bernsteinpolynom der Funktion f“.

Wenn f eine stetige Funktion ist, dann konvergiert die Folge der Bernsteinpolynome von f gleichmäßig gegen f.

Weblinks

• Bernsteinpolynome (Applet)

Literatur

• Bernstein, S.N., Démonstration du Théorème de Weierstrass fondée sûr le calcul dés Probabilités, Commun. Soc. Math. Khrakow, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912.