Zeeman-Effekt

Als Zeeman-Effekt bezeichnet man das Aufspalten einer atomaren Spektrallinie unter Anlegen eines externen Magnetfeldes in mehrere Linien. Der Effekt wurde nach Pieter Zeeman, seinem Entdecker, benannt. Man unterscheidet zwischen dem anomalen und dem normalen Zeeman-Effekt, wobei der normale nur ein Spezialfall des anomalen ist.

Die Aufspaltungen haben ihren Ursprung in der Wechselwirkung des Magnetfeldes mit den magnetischen Momenten des Atoms, die vom Bahndrehimpuls und vom Spin des Elektrons erzeugt werden. Eine Anwendung des Effekts findet sich in der Atomabsorptionsspektrometrie zur Untergrundkompensation.

Anschauliche Beschreibung des Zeeman-Effektes

Beobachtet man eine spezielle Spektrallinie eines Atoms ohne Magnetfeld, so sieht man nur eine einzige Linie, also nur eine einzige Wellenlänge. Schaltet man nun ein Magnetfeld ein, so erkennt man beispielsweise drei Wellenlängen. Durch ein Interferometer kann man die drei verschiedenen Linien direkt beobachten.

Erklären kann man diese Aufspaltung durch ein eigenes magnetisches Moment der Elektronen im Atom, welches mit einem äußeren Magnetfeld wechselwirkt. Bei einem Stabmagneten in einem Magnetfeld ergibt sich, dass man, je nachdem wie man den Stabmagneten im Feld drehen möchte, unterschiedliche Energie für die Durchführung der Drehung aufwenden muss. Im Atom oder in einem Gas mit Atomen gibt es unterschiedlich orientierte magnetische Momente, wodurch sich Änderungen der Energie des jeweiligen Zustandes ergeben. Diese Änderungen der Energie führen direkt zur Veränderung der beobachteten Wellenlängen.

Normaler Zeeman-Effekt

Den normalen Zeeman-Effekt kann man mit Hilfe eines halbklassischen Modells beschreiben. Das heißt, dass man für die Bewegung des Elektrons um den Atomkern eine klassische Kreisbahn annimmt, der Drehimpuls allerdings gequantelt ist (vgl. Bohrsches Atommodell). Das Elektron auf der Kreisbahn mit der Geschwindigkeit v und Radius r stellt einen elektrischen Strom dar.

$I=-e\cdot {\frac {v}{2\pi r}}$

Dieser erzeugt ein magnetisches Moment:

${\vec {\mu _{l}}}=I\cdot {\vec {A}}=-ev{\frac {r}{2}}\cdot {\hat {n}}$

${\vec {A}}$ ist der Flächenvektor, der senkrecht auf der von der Kreisbahn umschlossenen Kreisfläche steht.

Das magnetische Moment lässt sich auch mit Hilfe des Drehimpulses des umlaufenden Elektrons ausdrücken: ${\vec {\mu _{l}}}=-{\frac {e}{2m_{e}}}\cdot {\vec {l}}$ dieses folgt aus einem Vergleich mit der Definition des Bahndrehimpulses: ${\vec {l}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=m_{e}\cdot r\cdot v\cdot {\hat {n}}$

Nun erhält man aus der Gleichung für die potentielle Energie in einem Magnetfeld ($E_{pot}=-{\vec {\mu _{l}}}\cdot {\vec {B}}$):

$E_{pot}={\frac {e}{2m_{e}}}\cdot {\vec {l}}\cdot {\vec {B}}$

dieses ist schon die Zeemanaufspaltung.

Nimmt man nun an, dass das Magnetfeld in z-Richtung zeigt, kann man über die Quantisierung des Drehimpulses ($l_{z}=m\cdot \hbar$) die Gleichung vereinfachen:

$E_{pot}={\frac {e\cdot \hbar }{2m_{e}}}m\cdot B=\mu _{B}\cdot m\cdot B$

wobei m die magnetische Quantenzahl ist und $\mu _{B}$ das Bohrsche Magneton

Die Energieniveaus innerhalb des Atoms verhalten sich nun also wie folgt: $E=E_{coulomb}+\mu _{B}\cdot m\cdot B$ Die Aufspaltung ist also nur abhängig von der magnetischen Quantenzahl und somit für jede Hauptquantenzahl gleich groß.

Anomaler Zeeman-Effekt

Für den anomalen Zeeman-Effekt muss man den Spin des Elektrons mit berücksichtigen. Insofern ist ein klassisches Herangehen nicht mehr möglich, da man den Spin nicht mit einer klassischen Größe vergleichen kann.

Spin und Bahndrehimpuls können zu einem Gesamtdrehimpuls J koppeln (Spin-Bahn-Kopplung). Ebenso koppeln die magnetischen Momente von Bahndrehimpuls (${\vec {\mu _{L}}}=-{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\cdot {\vec {L}}$) und Spin (${\vec {\mu _{S}}}=-g_{s}{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\cdot {\vec {S}}$). Das magnetische Moment des Bahndrehimpulses wurde oben hergeleitet, das magnetische Momente des Spins ergibt sich analog.

${\vec {\mu _{J}}}={\vec {\mu _{S}}}+{\vec {\mu _{L}}}=-{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}\left(g_{s}{\vec {S}}+{\vec {L}}\right)$, mit $g_{s}\approx 2$.

Hier muss man beachten, dass magnetisches Moment Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\math“): {\displaystyle \vec\mu_J<\math> und Drehimpuls <math>\vec\J<\math> wegen des anmalen Spinmomentes nicht mehr parallel! (Da <math>g_s \approx 2} .)

Alle Drehimpulse/magnetischen Momente präzedieren um die z-Achse oder um andere Drehimpulse/magnetische Momente. Wie die Präzession des magnetischen Momentes abläuft, wird durch das Verhältnis von Gesamtbahndrehimpuls und Gesamtspinmoment bestimmt.

Aus der quantenmechanischen Störungstheorie folgt dann für die Aufspaltung der Energieniveaus:

$\Delta E_{B}=\mu _{B}\cdot B\cdot m_{J}\cdot g_{J}$

$g_{J}=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}$ dies ist der Landé-Faktor für den Gesamtdrehimpuls. Setzt man S=0, erhält man wieder den normalen Zeeman-Effekt.

Die Aufspaltung ist komplizierter als beim normalen Zeeman-Effekt, da der Grad der Aufspaltung im anomalen Fall über $g_{J}$ von L und S und damit vom Zustand abhängt.

Quadratischer Zeeman-Effekt

Ein Magnetfeld induziert auch in abgeschlossenen Schalen ohne permanentes magnetisches Moment immer ein Moment ${\vec {\mu }}_{ind}=\alpha _{m}{\vec {B}}$ ($\alpha _{m}$: magnetische Polarisierbarkeit). Dieses wechselwirkt ebenfalls mit dem externen Magnetfeld und führt zu einer weiteren Energieaufspaltung

$\Delta E=\alpha _{m}\cdot B^{2}$.

Dieser Effekt ist im allgemeinen gegenüber dem linearen Zeeman-Effekt vernachlässigbar.

Siehe auch

Paschen-Back-Effekt