Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieck (* 28. März 1928 in Berlin) ist ein französischer Mathematiker, der die Fields-Medaille erhielt und als Gründer einer eigenen Schule der algebraischen Geometrie deren Entwicklung in den 1960er Jahren massgeblich beeinflusste. Nachdem er sich schon um 1970 von seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurückzog, verschwand er seit 1991 völlig aus dem öffentlichen Leben. Sein genauer Aufenthaltsort ist heute nur wenigen Freunden bekannt.

Alexander Grothendiecks mathematische Veröffentlichungen umfassen die Gebiete der Topologie, der algebraischen Geometrie und der Funktionalanalysis. Zu seinen späteren Arbeiten gehören Thesenpapiere und Meditationschriften aus den Bereichen der Ökologie, Philosophie, Religion und vor allem der Esoterik.

Auf Grund seines Wirkens in Frankreich wird sein Name auch oft fälschlich als Alexandre Grothendieck angegeben. In seiner Jugendzeit trug Alexander Grothendieck den Spitznamen Schurik.

Leben und Werk

Alexander Grothendieck wird als Alexander Radatz in Berlin geboren. Seine Mutter, die norddeutsche jüdische Journalistin und Schriftstellerin Hanka Grothendieck, ist zu diesem Zeitpunkt noch mit einem anderen Mann verheiratet. Sein Vater ist Alexander Schapiro (der möglicherweise auch den Namen Alexander Tanaroff trug), hatte von der Familie her chassidische Wurzeln und war ein Anarchist und Anhänger der Machnobewegung aus der Ukraine, der in den Nachwehen der Oktoberrevolution das Land verlassen musste. Alexander Schapiro verdingte sich als Straßenfotograf in Berlin, wo er Hanka Grothendieck begegnete.

"Schurik" Grothendieck verlebt seine frühe Kindheit in Berlin bei seinem Vater und seiner Mutter. 1933 flieht der Vater vor den Nationalsozialisten nach Paris. Die Mutter folgt ihm einige Monate später; Schurik bleibt in Berlin zurück.

Er lebt von 1934 bis 1939 bei Pflegeeltern, Magda und Wilhelm Heydorn, in Hamburg. Wilhelm Heydorn, ein suspendierter Theologe, ist trotz des Nazi-Regimes politisch aktiv. Schurik besucht die Volksschule und anschließend das Gymnasium in Hamburg-Blankenese.

Seine leiblichen Eltern, Hanka Grothendieck und Alexander Schapiro, engagieren sich unterdessen auf der Seite der anarchosyndikalistischen Gruppen im spanischen Bürgerkrieg.

1939 folgt er seinen Eltern nach Frankreich. 1940 wird die gesamte Familie durch die Vichy-Regierung in einem Konzentrationslager interniert. Alexander Schapiro wird 1942 ins KZ Auschwitz-Birkenau gebracht und dort als eines der ersten Opfer ermordet.

1942 entkommt Alexander Grothendieck dem Lager und geht nach Le Chambon-sur-Lignon in den protestantischen Cevennen; jenem berühmten Dorf, das während des Holocaust Juden Unterschlupf gewährte. Er besucht dort das Collège Cevenol und schließt 1944 mit dem Baccalaureat ab. Nach der Befreiung durch die Alliierten werden Mutter und Sohn wieder vereint. Sie bleiben bis zu ihrem Tod aufgrund von Tuberkulose (eine Folge der Kriegsgefangenschaft) um 1957 eng verbunden.

Von 1945 bis 1948 studiert Grothendieck Mathematik in Montpellier, wo er für sich allein Ergebnisse der Masstheorie und das Lebesgue-Integrals wiederentdeckt. Danach wechselt er den Studienort, zunächst nach Paris an die Ecole Normale Superieure, wo er das berühmte Seminar von Henri Cartan besucht. Da er sich auf Funktionalanalysis spezialisiert rät ihm dieser Ende 1949 zu Jean Dieudonne und Laurent Schwartz nach Nancy zu gehen. Er schließt 1953 in Nancy mit seiner einflussreichen Dissertation über topologische Vektorräume ab, in der er viele offene Probleme mit abstrakten algebraischen (homologischen) Methoden löst ("Tensorprodukte und nukleare Räume", erschienen in den Memoirs of the American Mathematical Society 1955). Es wird sogar erzählt, dass er alle Probleme einer Liste der vom Pionier der Distributionentheorie und Fields-Medaillisten Laurent Schwartz als wegweisend angesehenen 14 Probleme innerhalb eines Jahres löste. Da in Frankreich für ihn damals keine Stellen in Aussicht waren (er blieb zeitlebens staatenlos, was seine Kandidatur sehr erschwerte), geht er auf Empfehlung von Freunden nach Sao Paulo, Harvard und an die Universität von Kansas, wo er bis 1956 bleibt. Er setzt dort seine Reihe fundamentaler Arbeiten in der Funktionalanalysis fort.

Ab 1955 wendet sich Alexander Grothendieck der algebraischen Geometrie zu. Zunächst schreibt er noch in Kansas eine einflussreiche Arbeit über die Theorie Abelscher Kategorien, die im Tohoku Mathem. Journal erscheint. Er arbeitet sich im Seminar von Claude Chevalley in Paris in das Thema ein und führt intensive Diskussionen mit Jean-Pierre Serre, auf dessen breites Wissen auch klassischer Resultate er immer wieder zurückgreift (der Briefwechsel der beiden aus dieser Zeit wurde 2003 veröffentlicht). Auch hier versucht er zuerst die Theorie möglichst weit zu abstrahieren: Sätze über algebraische Varietäten werden im Rahmen der Kategorientheorie in solche über Abbildungen (Morphismen) zwischen Kategorien von Objekten wie Varietäten und Gruppen umgewandelt. Sein für die damalige mathematische Welt eindrucksvollster Erfolg war die abstrakte Formulierung des " Hirzebruch-Riemann-Roch" Theorems, bei dem es um die Dimension des Raus der Vektorbündel über einer Varietät geht (im klassischen Fall einer Riemannfläche). Serre hatte schon eine Formulierung als alternierende Summe der Dimensionen der zugehörigen Kohomologiegruppen einerseits gegeben, die in dem Satz durch topologische Invarianten ausgedrückt wird. Der Satz wurde von Friedrich Hirzebruch mit komplizierten topologischen Methoden bewiesen. Grothendieck formulierte und bewies ihn in abstraktem algebraischen Rahmen. Veröffentlicht wurde das Ergebnis in einer Arbeit von Jean-Pierre Serre und Armand Borel 1957 (angeblich war es Grothendieck selbst noch nicht abstrakt genug). In dieser Arbeit liegen auch die Ursprünge der topologischen K-Theorie der 1960er Jahre, entwickelt u.a. von Michael Atiyah und Hirzebruch besonders in Zusammenhang mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz. Grothendieck schaffte damit auch auf diesem Gebiet den Durchbruch an die Spitze und wurde auf dem ICM in Edinburgh 1958 gebeten einen der Plenarvoträge zu halten. Hier skizzierte er auch schon sein späteres Programm, eine abstrakte topologische Homologietheorie in der algebraischen Geometrie zu formulieren, die so abstrakt ist, dass sie ihre Ergebnisse gleichzeitig sowohl über Körpern wie den komplexen und reellen Zahlen (klassische algebraische Geometrie), als auch über endlichen und p-adischen Körpern (Zahlentheorie) formuliert. Analogien zwischen Zahlkörpern und Funktionenkörpern (algebraische Geometrie), die schon seit dem 19.Jahrhundert bekannt waren (z.B. Richard Dedekind, Heinrich Weber, Leopold Kronecker) könnten so in natürlicher Weise eine Erklärung finden (es ist sogar noch heute so, dass Sätze, deren Beweis für Zahlkörper zu schwierig ist, erst im einfacheren Fall von "Funktionenkörpern" bewiesen werden).

Grothendieck arbeitet daran in den nächsten 12 Jahren intensiv (oft 12 Stunden jeden Tag) im Zentrum einer grossen Schule von algebraischen Geometern wie Luc Illusie, Michael Artin, Jean-Louis Verdier, Pierre Deligne u.a., die sein Programm vorantreiben. Einige Jahre (bis 1960) war er auch im Bourbaki-Kreis aktiv. Ab 1959 ist er am "Institute des Hautes Etudes Scientifiques" (IHES) in Bures-sur-Yvette bei Paris. Auch in den USA, wo er auf Einladung von Oscar Zariski ab 1960 regelmässig in Harvard Vorlesungen hält, bildet sich eine Schule: Robin Hartshorne, der ein weit verbreitetes Lehrbuch über Grothendiecks Schema-Zugang zur algebraischen Geometrie schrieb, Barry Mazur, Nicholas Katz u.a.. Die algebraische Geometrie wird um den Begriff des Schema neu aufgebaut, eine Idee die ursprünglich von Pierre Cartier stammt (1957). Das sind Ring-Räume lokal isomorph zu "Spec (A)", dem Spektrum eines Ringes (Menge der Hauptideale), die an die Stelle algebraischer Varietäten treten. Spezielle Schemas werden für die verschiedenen in der klassischen algebraischen Geometrie vorkommenden Varietäten verwendet. Um zu seinem Fernziel, dem Beweis der Weil-Vermutungen, zu gelangen, erfand Grothendieck auch noch eine neue Art von Topologie in der algebraischen Geometrie, die nicht wie die schon verwendete Zariski-Topologie algebraische Untervarietäten formalisiert, sondern die Idee der Verzweigung einer Mannigfaltigkeit über einem Basisraum, wie in der Theorie Riemannscher Flächen oder bei algebraischen Zahlkörpern in der Klassenkörpertheorie. Er nannte diese Topologie "Étale cohomologie" ("etale" frz. für verzweigt). Mit Übertragung von Ideen von Solomon Lefschetz aus der klassischen Theorie gelang es Grothendieck, einen Teil der Weil-Vermutungen zu beweisen. Er formulierte eine Reihe von "Standardvermutungen" über algebraische Zyklen, aus denen diese folgen. Während diese aber bis heute unbewiesen sind gelingt es seinem Mitarbeiter und Schüler Pierre Deligne 1974 doch noch, auf dem von Grothendieck errichteten Theoriengebäude die letzte und schwierigste der Weil-Vermutung, das Analogon zur Riemannvermutung, zu beweisen.

Die Frucht dieser Arbeiten aus den 1960er Jahren sind die Elements de Geometrie Algebrique (EGA), verfasst mit Jean Dieudonne, und die Seminaires de Geometrie Algebrique du Bois Marie (SGA) (Bois Marie heisst der Wald, in dem das IHES liegt) mit verschiedenen Autoren. Auf die Frage, warum man in seinem Seminar an der IHES so wenig Bücher fand, antwortete Grothendieck, sie würden sie dort selber schreiben. Aus Äußerungen von Grothendieck selbst kann man entnehmen, dass er, als sein intensives Bemühen um den Beweis der Weil-Vermutungen gegen Ende der 1960er Jahre auf Hindernissen stiess, um diese Zeit "ausgebrannt" war. Heute noch Nachhall finden Grothendiecks Ende der 1960er Jahre entwickelten Vermutungen über Zusammenhänge von Galoisgruppen in der algebraischen Geometrie und Topologie, die "Motive" (z.B. in Gesprächen mit Yuri Manin).

1966 wird Grothendieck mit der Fields-Medaille, der höchsten Auszeichnung der mathematischen Forschungsgemeinschaft, geehrt. Er lehnt es aber aus politischen Gründen ab, zu der offiziellen Verleihung nach Moskau zu reisen. Schon seit den 1950er Jahren rasiert sich Grothendieck eine Glatze wie sein Vater, den er verehrt, und trägt russische Bauernkleider. Die Studentenbewegung Ende der 1960er Jahre machte ihn politisch aktiv, und er besucht auch Hanoi und hält dort Vorlesungen. Sein Haus ist Paris ist für jeden offen. Ab 1970 beginnt Grothendieck seinen Rückzug aus der Mathematik und wendet sich zunehmend der Ökologie, der Philosophie und der Esoterik zu. Auch von seiner Position am IHES tritt er zurück, als er erfährt, das dieses Gelder vom französischen Verteidigungsministerium bekommt. Er ergründet die Religionen, vor allem den Buddhismus, und ist Mitbegründer der Gruppe Vivre et Survivre, denen sich zeitweise auch mathematische Freunde wie Claude Chevalley und Pierre Samuel anschliessen. In den folgenden Jahren bekennt er sich immer steter zur alternativen Lebensweise der sechziger und siebziger Jahre: Er lebt in einer Kommune, hat einen und ist später auch selbst Guru.

Die Anfang der 1970er Jahre in Paris gehaltenen Vorlesungen am College de France und Orsay in Paris nutzt er lieber dazu, um über Umweltschutz und Friedenstheorie zu reden und bekommt Ärger mit seinen Vorgesetzten.

1974 wird er Professor in Montpellier und hat ab 1984 eine Stelle beim nationalen Zentrum für wissenschaftliche Forschung (CNRS) inne. Er hält bis 1984 Vorlesungen, allerdings nicht über sein früheres Forschungsprogramm sondern auf elementarer Ebene - und nach Auskunft ehemaliger Studenten erfolgreich. Gleichzeitig arbeitet er auf dem Weingut seiner Kommune. Mathematische Denkschriften von ihm, die er kursieren lässt, auch in der Hoffnung bei der CNRS eine neue Forschungsgruppe zu leiten, sorgen weiterhin für Aufsehen, so sein "Esquisse d un programme" (dt. Skizze eines Programms) von 1983, das von einfachen Graphen auf Riemannflächen (Dessins d enfants, "Kinderzeichnungen") und den Wirkungen von Galoisgruppen (speziell der "absoluten" Galoisgruppe über den rationalen Zahlen) auf diesen handelt. Er schreibt einen offenen Brief an Gerd Faltings und propagiert "anabelian geometry", eine neuartige Synthese um die Modulräume algebraischer Kurven. In einem fast 600 Seiten langen "Brief" ("Pursuing stacks") an Daniel Gray Quillen, der massgeblich am Ausbau der von Grothendieck initiierten K-Theorie beteiligt war, zeigt er Interesse an dessen Theorie höherer Kategorien (sein Buch "Homological algebra" von 1967), auf dessen Grundlage er auch eine neue Basis für die Topologie sieht. Andererseits kursieren Gerüchte von irritierenden Äußerungen (goldenes Zeitalter nach einem neuen Holocaust, kleine Abweichungen in den Naturkonstanten seien das Werk des Teufels, Kritisches über ehemalige Kollegen u.a.) in "Säen und Ernten" oder in "Der Schlüssel der Träume", in denen er einen Gottesbeweis aus der Analyse seiner Träume versucht.

Als Alexander Grothendiek 1988 der renommierte schwedische Crafoord-Preis verliehen werden soll, schockt er die wissenschaftliche Gemeinschaft, indem er den Preis ablehnt. Er begründet dies mit seiner Kritik an der Politik von François Mitterrand sowie der mangelnden Ethik und weit verbreiteten moralischen Korruption unter seinen Kollegen (Brief an Le Monde). Das Verhalten stößt bei der Mehrheit der mathematischen Forschungsgemeinschaft auf Unverständnis.

1991 taucht er ohne Vorwarnung unter und verschwindet aus dem öffentlichen Leben. Er lebt fortan in vollständiger Isolation, sein genauer Aufenthaltsort irgendwo in den Pyrenäen ist nur wenigen Vertrauten bekannt.

Grothendieck ist ein Theorien-Erbauer par excellance. Er drängt stets zu größtmöglicher Abstraktion unter Verwendung der homologischen Algebra, macht sie dann aber für den Beweis von Theoremen auch fruchtbar. Ein Beispiel ist sein Beweis seiner Version des Riemann-Roch Theorems in den 1950er Jahren. Grothendieck selbst hat von vielen Bereichen der klassischen Mathematik (selbst in der algebraischen Geometrie) wie er selbst zugibt nur geringe Kenntnisse, holte sich die notwendigen Informationen aber in Diskussionen von Freunden wie Jean-Pierre Serre. Das Fernziel seiner Entwicklungen der algebraischen Geometrie, die er solange abstrahierte bis sie auf gleicher Stufe wie die Zahlentheorie handhabbar war, war der Beweis der Weil-Vermutungen, worin erst sein Schüler und Mitarbeiter Pierre Deligne 1974 erfolgreich war.

Mathematische Veröffentlichungen

• Eine kompakte Übersicht liefert http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/mathtexts.php.

Meditationsschriften

Alexander Grothendieck verfasste diverse, unveröffentlichte Meditationsschriften. Zu seinen wichtigsten gehören:

• Eloge, 1981 ("Lobrede")
• Récoltes et Semailles, 1983-85 ("Ernten und Säen")
• La clef des songs – ou dialogue avec le Bon Dieu, 1986 ("Der Schlüssel der Träume - ein Dialog mit dem guten Gott")
• Notes pour La clef des songs, 1987 (Aufzeichnungen zu "Schlüssel der Träume")

Literatur

• Serre (Hrsg.) Grothendieck-Serre correspondence, AMS 2003
• Cartier, Illusie, Katz (Hrsg.) Grothendieck Festschrift, 3 Bde., Birkhäuser 1998 (mit Bibliographie seiner Schriften)
• Pierre Cartier A mad days work - from Grothendieck to Connes and Kontsevich, Bulletin AMS 2001
• ders. Grothendieck et les motifs, IHES 2000 preprint, online hier:[1]
• Leila Schneps, Lochak (Hrsg.) Geometric Galois actions- around Grothendiecks Esquisse d un programme, London Math.Society Lecture Notes, Cambridge 1997 (mit Grothendiecks Esquisse)
• Pragacz The life and work of Alexander Grothendieck, American Mathematical Monthly, November 2006

Weblinks

• Vorlage:PND
• Vorträge von Prof. Dr. Winfried Scharlau,
• Grothendieck Circle, dort auch links zu online Arbeiten (z.B. EGA, SGA, Esquisse, Recoltes et semailles)
• Comme Appelé du Néant – As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck von Allyn Jackson, http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf und http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf