Winkel

Der Winkel ist ein Objekt der Geometrie. Mit einem Winkel kann man messen, wie sich zwei Geraden oder zwei Ebenen schneiden.

Ein Winkel wird durch 3 Punkte definiert, die in einer Ebene liegen. (In den beiden Ausnahmen gestreckter Winkel und Vollwinkel sind es unendlich viele Ebenen)

Einer dieser Punkte ist Ausgangspunkt von zwei Strahlen, die durch die anderen beiden Punkte laufen.

Der erste Punkt heißt Scheitel des Winkels.

Die beiden Strahlen heißen Schenkel des Winkels.

Man kann auch sagen, ein Winkel entsteht immer durch eine Drehung, etwa zweier Geraden oder zweier Ebenen gegeneinander. Mit Hilfe des Einheitskreises wird dieses und die Definition der Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktion) deutlich.

Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben z.B. α oder β bezeichnet. Alternativ gibt man die drei Punkte an, die den Winkel definieren: z.B. Winkel ABC

Arten von Winkeln

spitzer Winkel

kleiner ¼ Vollwinkel: (0°, 90°) = (0^g, 100^g) = (0, ½·π);

rechter Winkel

gleich ¼ Vollwinkel: 90° = 100^g = ½·π;

stumpfer Winkel

größer ¼ und kleiner ½ Vollwinkel: (90°, 180°) = (100^g, 200^g) = (½·π, π);

gestreckter Winkel

gleich ½ Vollwinkel: 180° = 200^g = π;

überstumpfer Winkel

größer ½ und kleiner 1 Vollwinkel: (180°, 360°) = (200^g, 400^g) = (π, 2·π);

Vollwinkel

360° = 400^g = 2·π.

gebräuchliche Winkelmaße

• Grad (Einheit Altgrad, dargestellt als °)
  • Rechter Winkel = 90°
  • Vollwinkel = 360°
• Arcus = Bogenmaß (Einheit Radiant)
  • Rechter Winkel = π:2
  • Vollwinkel = 2π
• Gon (Einheit Neugrad)
  • Rechter Winkel = 100 gon
  • Vollwinkel = 400 gon

Winkelgrad = 180:π·Bogenmaß z.B. Bogenmaß = 1 daraus folgt Winkelgrad = 180:3,14 ≈ 57,3 Grad

Winkelkonstruktion

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad- und 30 Grad-Winkel.

Es gilt im Allgemeinen nicht, daß Winkel ausschließlich mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden können!

Konstruktion des 90 Grad Winkels (oder rechten Winkels):

Man konstruiert genauergesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke.

Man nimmt zwei auf der Strecke im gleichen Abstand um den Scheitelpunkt liegende Punkte. Falls der Scheitelpunkt der Randpunkt einer Strecke ist, so muß diese ein Stück verlängert werden.

Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel, steche am Scheitelpunkt ein und zeichne die beiden, gegenüberliegenden Schnittpunkte mit der (gegebenenfalls verlängerten) Strecke.

Wir bestimmten nun die Schnittpunkte zweier gleich großer, sich schneidender Kreise um die eben konstruierten Punkte und verbinden diese Schnittpunkte durch eine Gerade.

Konstruktion: Man nehme einen beliebig größeren Abstand in den Zirkel als eben und steche jeweils an den Schnittpunkten auf der gegebenen Strecke ein und ziehe jeweils einen Kreis. Nun Verbinde man die beiden so entstanden, neuen Schnittpunkte der Kreise mit dem Lineal. Diese Verbindungslinie schneidet unsere gegebene Strecke im rechten Winkel und zwar genau im Scheitelpunkt.

Ratschlag: Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; Es reicht jeweils einen Bogenabschnitt zu ziehen, auf dem der Schnittpunkt liegt. Allerdings verschätzt man sich leicht. Die Schnittpunkte liegt genau über (bzw. unter) dem Scheitelpunkt in senkrechter Verbindung zur gegebenen Strecke. Daumenregel fürs Zeichnen: Je größer die Abstände und je größer der Unterschied zwischen den Abständen, desto genauer wird es.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte):

Man halbiert eine gegebene Strecke, in dem man Kreise, deren Radius größer ist als die hälfte der Strecke, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Allso konstruiert man Mittelsenkrechten!

Konstruktion eines 60 Grad Winkels

Wir konstruieren um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und tragen ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen rechten Winkel ein.

Konstruktion: Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Man behalte den Abstand im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke):

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleichgroße Winkel von je 60 Grad. Muß man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken (Hexagon)):

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck. Dies liegt daran, daß wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad beträgt. 6x60 Grad = 360 Grad, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleichgroße Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende.

Konstruktion: Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Folgerung (30 Grad Winkel, 45 Grad Winkel)

Konstruiert man einen 60 Grad Winkel und halbiert diesen, so erhält man einen 30 Grad Winkel. Ähnlich erhält man aus einem 90 Grad Winkel einen 45 Grad Winkel.

Winkelmessung

• mit dem Geodreieck
• mit dem Theodolit
• mit dem Goniometer
• mit dem Sextanten
• historisch
  • mit dem Jakobsstab

Literatur

• Krainer 1989
  • Vor und Nachteile verschiedener Definitionen des Winkels werden diskutiert.

Weblinks

• http://geochron.geologie.univie.ac.at/maths/daten/kap_3/node8.htm
  • Definition des Winkels mit Bild
• http://www.vermessungsseiten.de/kiel/vetheode.htm
  • Erklärung der Winkelmessung mit dem Theodolit