Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Gebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten handelt.

Axiomatischer Aufbau

Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatische Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen geben keinen Hinweis, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen. Siehe dazu die Artikel Wahrscheinlichkeit, Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff, Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, Quantenlogik.

Definitionen

Ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω ist eine Menge, aus deren Teilmengen sich ein Ereignisraum Σ zusammensetzt, auf dem wiederum ein Wahrscheinlichkeitsmaß P definiert ist.

Ein Element von Ω wird gelegentlich Elementarereignis genannt. Einem Elementarereignis wird keine Wahrscheinlichkeit, gegebenenfalls aber eine Wahrscheinlichkeitsdichte zugeschrieben.

Der Ereignisraum Σ ist eine Menge von Teilmengen von Ω. Wenn Ω abzählbar ist, kann man Σ als die Potenzmenge (die Menge aller Teilmengen) von Ω wählen; jedenfalls muss Σ eine σ-Algebra sein (eine bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossene Menge von Teilmengen, die die Grundmenge und mit jeder Menge auch deren Komplement enthält).

Ein Ereignis A ist somit Element von Σ und Teilmenge von Ω.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß P: Σ →[0,1] im Sinne der Maßtheorie mit P(Ω)=1.

Historische Bemerkung:

Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den 1930er Jahren von Andrej Kolmogorow entwickelt. Ohne explizite Berufung auf die Axiome der Maßtheorie lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit den folgenden drei Kolmogorow-Axiomen einführen:

(1) Für jedes Ereignis A⊆Ω ist die Wahrscheinlichkeit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: 0≤P(A)≤1.

(2) Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 1: P(Ω)=1.

(3) Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Inkompatible Ereignisse sind disjunkte Mengen A₁, A₂ ...; es muss gelten: $P(A_{1}{\dot {\cup }}A_{2}{\dot {\cup }}\cdots )=\sum P(A_{i})$. Diese Eigenschaft wird auch σ-Additivität genannt.

Beispiel: Münzwurf

Die Ereignisse beim Münzwurf mögen Zahl oder Wappen lauten.

• Dann ist der Wahrscheinlichkeitsraum Ω={Zahl,Wappen}.
• Die Ereignismenge ist die Potenzmenge Π(Ω), also Σ={{},{Zahl},{Wappen},Ω}.
• Für das Wahrscheinlichkeitsmaß P steht aufgrund der Axiome fest:
  • P({})=0;
  • P({Zahl})=1-P({Wappen});
  • P(Ω)=1.

Zusätzliches (außermathematisches) Wissen ist erfordert, um P({Zahl})=P({Wappen})=0,5 anzusetzen.

Folgerungen

Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:

Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse komplementäre Wahrscheinlichkeiten haben: P(Ω\A) = 1-P(A).

Daraus folgt unmittelbar, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: P({})=0.

Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignissen folgt: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen):

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B)$

Bayes-Theorem:

$P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\;,$

wobei P(B) die totale Wahrscheinlichkeit von B ist.

siehe auch Bedingte Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie und Induktive Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen in enger wechselseitiger Beziehung:

• Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert, dass sie das Resultat zufälliger Prozesse sind.
• Ungekehrt liefern statistische Daten über eingetretene Ereignisse Anhaltspunkte (in frequentistischer Interpretation sogar die einzigen akzeptablen Anhaltspunkte) für die Wahrscheinlichkeit künftiger Ereignisse.

Anwendungsgebiete

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glücksspielen. Auch andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich des Glücksspiels.

Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage der schließenden Statistik. Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, etwa um Umfrageergebnisse zu interpretieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen.

Daneben kommt sie außer in der Physik unter anderem auch in der Zuverlässigkeitstheorie zum Einsatz.

Stichworte

Folgende Stichworte müssen noch eingearbeitet werden:

• Gesetz der großen Zahl -- Korrelation -- Wahrscheinlichkeitsverteilung -- Stochastische Abhängigkeit -- Dichtefunktion -- Entropie