Diskussion:Mengenlehre

Die einzige Grundrelation ist ? (gesprochen Element von), z.B. x ? M, wenn x als Element in M enthalten ist.
da scheint es ein Formatierungsproblem zu geben - mit diesem Quadrat kann ich nicht viel anfangen... :-( --Robodoc 10:57, 2. Okt 2003 (CEST)

Das Zeichen ∈ ist das HTML-Zeichen für $\in$. Es wird von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt. Ich hab jetzt den Artikel geändert, um den Leser darauf aufmerksam zu machen. Zu nicht dargestellten HTML-Zeichen siehe auch Wikipedia:WikiProjekt Mathematik/Diskussionsforum. --SirJective 11:34, 2. Okt 2003 (CEST)

Hilfe ich habe ein Problem!!!! Meine Aufgabe lautet: geg: M2:={1} M3:={a,b,1} ges: M2 X M2 X M3 (Erklärung: X kartesisches Produkt=Kreuzprodukt) Frage: Wie lautet die Antwort?

Sorry, aber die Wikipedia ist eine Enzyklopädie, kein Experten-Forum. Antwort auf deine Frage findest du vermutlich am ehesten in einer entsprechenden Newsgroup ( [1] ), oder im Experten-Forum "Mathematik und Physik" bei "Wer-Weiss-Was" ( [2] ) Viel Glück! --Thomas 16:10, 18. Okt 2003 (CEST)

Stimmt nicht ganz! Sofern sich die "mathematischen" Autoren nicht um bessere Verständlichkeit bemühen, handelt es sich eben um nicht mehr als ein Expertenforum. So auch hier. Ich habe die Mengenlehre anhand der "Nachhilfestunden" mit meinen Töchtern (wieder) verstanden und muss daher sagen, dass sie in jedem Lehrbuch der Oberstufe besser - d.h. in verständlicherer Form abgehandelt wird als hier. Gerade eine Enzyklopädie wie Wikipedia sollte auch die Menschen als Zielpublikum ansprechen, die keine mathematische Vorbildung haben. Sich auf den Standpunkt zu stellen, dass gewisse Wahrheiten eben solche seien, ist bloß bequem oder bezeugt - leider aber doch - didaktische Unfähigkeit.

Ich würde daher gerne um eine verständlichere Bearbeitung dieses und anderer mathematischer Themen, siehe auch Lot (Mathematik), bitten. -- Robodoc 12:57, 13. Jan 2004 (CET)

Ich gebe meine didaktische Unfähigkeit gerne zu, bin aber zu folgendem Kompromiss bereit: Es finde sich jemand, der den Artikel fuer Menschen ohne "mathematische Vorbildung" (solche sollte es heute eigentlich gar nicht mehr geben!) aufbereitet, und ich werde ihn dann auf seine mathematische Korrektheit ueberpruefen. (Selbstverstaendlich hab ich kein Problem mit umgangssprachlichen Erklaerungen, wie das bei Stetigkeit geschieht, aber trotz aller gewuenschter Verstaendlichkeit sollten die Aussagen doch mathematisch korrekt sein, was z.B. bei der Aussage "die Division durch 0 ist verboten" nicht gegeben ist... aber damit weiche ich vom Thema ab) --SirJective 13:09, 13. Jan 2004 (CET)

"Die Division durch 0 ist verboten" - das ist doch schon wieder eine interessante Ergänzung zum Beitrag über die Null! Ich habe z.B. nicht gewusst, dass diese Aussage mathematisch falsch sein könnte. Auf dein obiges Angebot zurückkommend werde ich das einmal so einfügen, wie ich das jetzt verstanden habe. Ich werde mich über eine fachkundige Korrektur sehr freuen;-) --Robodoc 20:12, 13. Jan 2004 (CET)

Zur Division durch 0 siehe Diskussion:Null (Zahl). Man kann die Division durch 0 verbieten, aber das ist unnoetig, weil die Division durch 0 unmoeglich ist. Ebenso kann man in der Schule verbieten - solange man nur mit reellen Zahlen rechnet - die Wurzel aus -1 zu ziehen, aber das ist unnoetig, weil diese Operation in den reellen Zahlen unmoeglich ist. Kurz: Unmoegliches muss man nicht verbieten. --SirJective 12:45, 15. Jan 2004 (CET)

Gerade das finde ich verwerflich. Wenn jemand wissen möchte, was die Wurzel einer negativen Zahl ist, beziehungweise, wie man sie berechnet, dann sollte man ihm es zeigen, egal, ob er nun die komplexen Zahlen schon als Stoff gehabt hatte oder nicht. Wenn es eine Tür zu einem neuen Raum der Mathematik gibt, und jemand diese Tür öffnen will, dann soll man ihm den Schlüssel geben.

Genaus, wie man jemandem zeigen soll, so er wissen will, was er bekommt, wenn er eine größere Zahl von einer kleineren abziehen will, das er den Bereich der natürlichen Zahlen verläßt, und nicht, das es Verboten oder Unmöglich ist.--Arbol01 03:06, 10. Mai 2004 (CEST)

Dem kann ich teilweise zustimmen. Solange ich in der Grundschule nur mit natürlichen Zahlen gerechnet hatte (und nur rechnen durfte!), war es unmöglich, 3 - 5 zu bestimmen: Die vorgesehene Antwort war "nicht lösbar". Das hat mich damals maßlos geärgert, schließlich wusste ich schon, dass -2 das Ergebnis ist. Mir hat damals nur niemand erklärt, dass diese Rechenoperation in natürlichen Zahlen unlösbar ist. Stattdessen hat man uns verboten, eine größere Zahl von einer kleineren abzuziehen.

Und ähnliches meinte ich hier: Ein Verbot ist das schlimmste, was einem in einer solchen Situation begegnen kann. In meinem letzten Beitrag hatte ich mich darauf beschränkt, zu erklären, dass bestimmte Operationen im bekannten Bereich unmöglich sind. Sinnvoller ist es tatsächlich, dem Fragenden zu zeigen, dass eine Antwort existiert - woanders, nicht in dem Bereich, den man schon kennt.

Bei negativen Subtraktionsergebnissen und Wurzeln negativer Zahlen ist es also sinnvoller, zu sagen, wie das Ergebnis aussieht, und dass es sich dabei aber um Zahlen handelt, mit denen wir noch nicht rechnen. Vielleicht hätte in der ersten Klasse verstanden, wenn man mir gesagt hätte: "Schön dass du weißt, dass da -2 rauskommt, aber wir rechnen erst später mit negativen Zahlen, bis dahin schreibst du nicht lösbar in natürlichen Zahlen". Naja, wohl eher nicht *g*

Die Division durch 0 ist jedoch etwas, wo man wirklich nur zeigen kann, dass es - unter Beibehaltung aller Rechenregeln - unmöglich ist. Und das sollte man dann aber tun, statt es zu verbieten. --SirJective 15:47, 10. Mai 2004 (CEST)

Verdient "Menge" nicht einen eigenen Artikel?

Der Begriff Menge ist z.Zt. eine Weiterleitung auf Mengenlehre. Eine Erklärung des Mengenbegriffs taucht aber hier nur am Rand auf. Für mathematisch unkundige Leser ist das evtl. enttäuschend, denn Informationen zu axiomatischer Mengenlehre helfen jemandem, der nicht eine Vorstellung von Mengen hat, auch nicht.

Ein eigener Artikel zu Menge wäre hier sinnvoller. Der sollte

• Eine Vorstellung vom Mengenbegriff vermitteln
• Die gängigen Schreibweisen und verwandten Begriffe erläutern (Elementbeziehung, Teilmenge, Vereinigung, Schnitt...). Das kann etwas ausführlicher sein, als jetzt unter Mengenlehre
• Unterschiedliche Beispiele von Mengen bringen und daran erläutern, warum der Mengenbegriff so wichtig ist.
• Für Geschichtliches und verschiedene definitorische Ansätze auf Mengenlehre verweisen.
• Weitere Verweise zu grundlegenden Begriffen enthalten, z.B: Mächtigkeit

Wer traut sich? --Alex Krauss 01:03, 10. Jun 2004 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass ein eigener Text über die Menge (Mathematik) geben sollte, der Laien verständlich ist. Vielleicht sowas wie en:Set. Im englischen en:Set theory wird inzwischen zwischen axiomatischer, naiver und anderen Mengenlehren unterschieden, das sollte auch hier eingefügt werden. --SirJective 10:37, 11. Jun 2004 (CEST)

Frage

Nach Cantor besitzt die Menge aller positiven geraden natürlichen Zahlen die Mächtigkeit / Kardinalzahl aleph0, wobei aleph0 eine ganze Zahl sein soll, die größer als jede natürliche Zahl ist. Nun sieht man aber leicht, daß jeder nicht leere endliche Abschnitt der positiven geraden natürlichen Zahlen, wie etwa (2,4,6,8,10), mindestens zur Hälfte aus Zahlen besteht, die größer als die Kardinalzahl sind (im Beispiel sind die Zahlen 6, 8 und 10 größer als die Kardinalzahl 5 des Abschnittes). Solches gilt für jeden nicht leeren Abschnitt aus endlichen geraden Zahlen. Es gibt aber per Definition keine natürlichen Zahlen, die nicht endlich wären. Wie kann man sich vorstellen, daß "am Ende der Unendlichkeit" die Kardinalzahl doch noch alle geraden natürlichen Zahlen einholt und überholt??? (W. Mückenheim)

aleph0 ist keine ganze Zahl, sondern eine Kardinalzahl, die größer als jede natürliche Zahl ist. Du hast damit recht, dass für jeden endlichen Abschnitt nur die Hälfte der Zahlen gerade sind, und jede natürliche Zahl endlich ist. Aber: Eigenschaften, die im Endlichen gelten (wie die, dass es mehr natürliche als gerade Zahlen unterhalb einer Schranke gibt), müssen beim Übergang ins Unendliche nicht mehr gelten. Denkt man sich diesen Übergang als Grenzprozess, dann ist die betreffende Eigenschaft schlicht "unstetig".

Ich kann mir einen Übergang ins Unendliche nicht vorstellen, genausowenig wie das Unendliche selbst. Ich glaube, dass niemand das wirklich kann, und halte das für das Hauptproblem mit dem Unendlichen. Im Einklang mit der Theorie ist jedoch die Aussage, dass die geraden Zahlen dieselbe Mächtigkeit wie die natürlichen Zahlen haben, weil es eine Bijektion zwischen den geraden und den natürlichen Zahlen gibt. Man könnte das (sehr) salopp auch so formulieren: "Unendlich / 2 = Unendlich".

Dieses Verständnis des Unendlichen ist statisch, hat keinen "eingebauten" Begriff eines Übergangs vom Endlichen (man nennt es "aktuale Unendlichkeit"). Hat man kein fertiges Unendliches, sondern kann seinen endlichen Bereich nur beliebig vergrößern, dann hat man eine "potentielle Unendlichkeit", in der man von der "Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen" gar nicht sprechen kann, weil diese Menge nicht existiert. --SirJective 13:24, 27. Sep 2004 (CEST)

Oh, das war aber eine prompte Reaktion! Nach Cantor (z. B. S. 171 der Gesamtausgabe: "...eine beliebige ganze Zahl der ersten oder zweiten Zahlenklasse" und viele andere Zitate) sind die transfiniten Ordinal- und Kardinalzahlen ganze Zahlen. Die Möglichkeit einer Bijektion ist mir bewusst. Einen Übergang ins Unendliche kann ich mir auch nicht vorstellen, glaube aber durch meinen Einwand gezeigt zu haben, daß er tatsächlich gar nicht möglich ist. Denn auch Cantor geht davon aus, daß alle natürlichen Zahlen endliche Zahlen sind. Für die endlichen gilt aber mein Argument - oder nicht??? Das ist kein Problem des Unendlichen, sondern seiner falschen (aktualen) Anwendung. Ein zweites Argument liefert der einfache Sachverhalt, daß zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen immer eine rationale liegt. Wo stecken denn die überabzählbar vielen anderen irrationalen? (Mit einem von Cantor selbst gelieferten Beweis könnte man übrigens die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge wohlordnen.) Ein drittes Argument liefert Cantors berühmte Liste selbst: Würde eine Zeile mit omega numeriert, so könnte man in dieser Zeile die Diagonalziffer nicht finden. Wird aber keine Zeile mit omega numeriert, so wird jede nur mit einer endlichen natürlichen Zahl numeriert und ist damit auch nur um eine endliche Schrittweite von der ersten entfernt. Es ergibt sich also keine Irrationalzahl sondern eine gewöhnliche rationale als Diagonalzahl. Außerdem ist die Liste sowieso nicht vollständig, denn nach Cantor ist jede Zahl, die kleiner als omega ist, eine endliche Zahl, die (Zitat:) von anderen endlichen Zahlen übertroffen wird. Hilbert mit seinem berühmten Hotel hätte das eigentlich als erster merken müssen, anstatt vom Paradies zu träumen. (W. Mückenheim)

Um es nocheinmal deutlich zu formulieren: Mein Beweis gilt für jede endliche gerade Zahl 2n. Die oben erwähnte Unstetigkeit liegt daher nicht im Definitionsbereich der geraden Zahlen. Und alles was danach kommt (einschließlich des "Überganges ins Unendliche"), kann diese Zahlen nicht betreffen und interessiert mich daher nicht. Mir geht es nur um die natürlichen, also endlichen geraden Zahlen. (W. Mückenheim)

Du hast damit recht, dass Cantor Ordinalzahlen (von Kardinalzahlen hab ich in den ersten Bänden der Math. Annalen nichts gelesen, kann aber auch sein) als unendliche ganze Zahlen bezeichnet. Nach heutigem Sprachgebrauch sind diese keine ganzen Zahlen.

Ob die aktuale Anwendung des Unendlichen automatisch eine falsche ist (wie du zu behaupten scheinst), ist eine Frage, mit der sich Mathematiker seit Cantors Zeiten beschäftigen; dieser Disput sollte in der Wikipedia dargestellt, nicht ausgetragen werden. Cantor selbst unterscheidet zwischen dem "Uneigentlich-Unendlichen", das z.B. in der Analysis für den Grenzwertbegriff verwendet wird, und dem "Eigentlich-Unendlichen", das in der Funktionentheorie für den unendlich fernen Punkt der erweiterten komplexen Ebene verwendet wird (Math. Annalen, irgendein Teil seines Aufsatzes über lineare Punktmengen). Ob die Unterscheidung in "potentiell unendlich" und "aktual unendlich" noch eine andere ist, vermag ich noch nicht zu sagen.

Für natürliche Zahlen n hast du völlig recht, dass die Hälfte der geraden Zahlen kleinergleich n größer ist als die Anzahl aller geraden Zahlen kleinergleich n.

Dein zweites Argument: Ich versteh die Frage nicht. Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen gibt es sowohl (abzählbar) unendlich viele rationale als auch (überabzählbar) unendlich viele irrationale Zahlen.

Die rationalen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge sind nicht wohlgeordnet, wenn man sie wohlordnet, ändert man ihre Reihenfolge. Aber was hat das damit zu tun?

Leider hab ich Cantors ursprüngliche Formulierung seines zweiten Diagonalargumentes noch nicht gefunden (hast du da eine Quelle?); zu Cantors erstem Überabzählbarkeitsbeweis hab ich Quellen (Crelles Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, Bd. 77, und Math. Annalen, Bd. 15).

Eine Diskussion über die (Un-)Gültigkeit des Diagonalarguments sollten wir nicht hier führen, denn für Diskussionsseiten gild die "Grundregel": "diskutiert über den Artikel, nicht über das Thema des Artikels!". --SirJective 11:56, 9. Okt 2004 (CEST)

[3] Da geht einem doch der Hut...--MKI 16:10, 9. Okt 2004 (CEST)